考慮矩陣 $A=
   \begin{bmatrix}
       0 & 1 & 2 & -3\\
       4 & 5 & 6 & -7\\
       8 & 9 & 10 & -11\\
       12 & 13 & 14 & -15
   \end{bmatrix}$。將矩陣 $A$ 做一系列基本列運算後可化為
   $\begin{bmatrix}
       1 & 0 & -1 & 2\\
       0 & 1 & 2 & -3\\
       0 & 0 & 0 & 0\\

假設 $V$ 為 vector space 且 $W$ 為其 subspace。考慮 $S=(V\backslash W)\cup\{\mathbf{0}\}$。

（Note：$V\backslash W=\{\mathbf{v}\in V|\mathbf{v}\notin W\}$）

(a) 說明當 $W=V$ 或 $W=\{\mathbf{0}\}$ 時，$S$ 會是 $V$ 的 subspace。

(b) 證明當 $W\neq V$ 且 $W\neq\{\mathbf{0}\}$（即 $W$ 為 $V$ 的 nontrivial subspace）時，$S$ 一定不會是 $V$ 的 subspace。

以下題目為去年第二次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

假設 $A$ 為 $n$ 階方陣且存在正整數 $k$ 使得 $A^k=O$（零方陣）但 $A^{k-1}\neq O$

(a) 說明存在 $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ 滿足 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$，並說明為何這可推得 $A$ 為 non-invertible。

   （Hint：利用 $A^k=A\cdot A^{k-1}$ 以及矩陣乘法定義）

(b) 證明若 $(A-I_n)\mathbf{v}=\mathbf{0}$，則 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$，並說明為何這可推得 $A-I_n$ 為 invertible。

以下題目為去年第二次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

令 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k}\in\mathbb{R}^4$。以下敘述對的請說明，錯的請舉例。

(a) 若 $k=5$ 則 Span$(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k})=\mathbb{R}^4$。

(b) 若 $k=3$ 則 Span$(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k})\neq\mathbb{R}^4$。

(c) $k=5$ 則 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k}$ 為 linearly dependent。

(d) 若 $k=3$ 則 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k}$ 為 linearly independent。

前一個主題:

補一個112年的考古題：

令 $A$ 為 $3\times 4$ matrix。給定 $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^3$ 已知 $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\{(1,2,3,4),(3,2,1,4)\}$ 為聯立方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的兩組解。
(a) 假設 $\mathrm{rank}(A)=3$，說明 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2,3,1,4)$ 不會是原方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一組解。
(b) 假設 $\mathrm{rank}(A)=2$ 且  $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2,3,1,4)$ 也是  $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一組解。請具體寫下一個與  $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有相同解集合的聯立方程。
 

以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

Suppose that $A\in M_{m\times n}$ and $B\in M_{n\times m}$ such that $BA=I_n$.

(a) Prove that if $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m$ is a solution of the homogeneous system $(AB-I_m)\mathbf{x}=\mathbf{0}$, then the linear system $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ is consistent.

(b) Prove that if the linear system $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ is consistent, then $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m$ is a solution of the homogeneous system $(AB-I_m)\mathbf{x}=\mathbf{0}$.

以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

考慮 $B$ 為 $k\times l$ 的矩陣，其中 $k\neq l$。假設存在矩陣 $A$ 使得 $AB$ 為 identity matrix。

(a) 請說明 $A$ 的階數以及 $AB$ 的階數。

(b) 試說明 rank($A$), rank($B$) 和 rank($AB$) 為何(注意：我們還不知道對於一般矩陣 $B$，rank($B$) 和 rank($B^t$) 的關係，這裡請用課堂上學的定理說明理由)

以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

令 $A=
\begin{bmatrix}
   0 & 0 & 2 &2\\
   -2 & 4 & -3 & -1\\
   1 & -2 & 1 & 0
\end{bmatrix}$，且令聯立方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的增廣矩陣 $[A|\mathbf{b}]$ 利用 elementary row operation 後可化為 $[A'|\mathbf{b}']$，其中 $A'$ 為 reduced echelon form。

(a) 試將 $AA^{t}$ 的 2nd column 用矩陣乘法 column 的定義，具體寫成一些 column vectors 的線性組合(不必化簡)。試將 $AA^{t}$ 的 2nd row 用矩陣乘法 row 的看法，具體寫成一些 row vectors 的線性組合(不必化簡)。我們知道 $AA^t$ 是對稱矩陣，說明你的結果符合對稱矩陣的哪個特性。

讓我起個頭，後面請大家接力。

令 $T_1$ 為將 $i,j$ row 交換的 type 1 列運算；$T_2$ 是將 $i$-th row 乘上 $a$ 的 type 2 列運算；$T_3$ 是將 $j$-th row 乘上 $a$ 的 type 2 列運算。則 $T_1$，$T_2$ 不能交換。因為若先做 $T_1$ 再做 $T_2$，那麼 $i$-th row 會是原來的 $j$-th row 乘上 $a$；而若先做 $T_2$ 再做 $T_1$，那麼 $i$-th row 會是原來的 $j$-th row。故知 $T_2\circ T_1\ne T_1\circ T_2$。同理  $T_3\circ T_1\ne T_1\circ T_3$。

我們也可先說明  $T_2\circ T_1=T_1\circ T_3$（或 $T_3\circ T_1=T_1\circ T_2$）。再利用基本列運算的可逆性說明不可能 $T_2\circ T_1=T_1\circ T_2$（或 $T_3\circ T_1=T_1\circ T_3$）。