林宥呈
6 November 2025
討論區
以下題目為去年第二次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：
令 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k}\in\mathbb{R}^4$。以下敘述對的請說明，錯的請舉例。
(a) 若 $k=5$ 則 Span$(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k})=\mathbb{R}^4$。
(b) 若 $k=3$ 則 Span$(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k})\neq\mathbb{R}^4$。
(c) $k=5$ 則 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k}$ 為 linearly dependent。
(d) 若 $k=3$ 則 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_k}$ 為 linearly independent。
請回答 (a)(b)
此題(c)(d)涉及 independencet 概念，下回再說。在此將(a)(b)稍微改版，希望大家回答。
(a) 考慮 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4,\mathbf{v}_5\in\mathbb{R}^4$。任取 $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^4$。試問 $\mathbf{b}\in\mathrm{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4,\mathbf{v}_5)$ 等價於聯立方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，其中 $A$ 的 column vectors 為何？為幾階矩陣？試說明 $A$ 的 rank 和 $\mathrm{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4,\mathbf{v}_5)=\mathbb{R}^4$ 的等價關係。
(b) 請用同樣的方式回答是否可能 $\mathrm{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)=\mathbb{R}^4$？