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補一個112年的考古題：

令 $A$ 為 $3\times 4$ matrix。給定 $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^3$ 已知 $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\{(1,2,3,4),(3,2,1,4)\}$ 為聯立方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的兩組解。
(a) 假設 $\mathrm{rank}(A)=3$，說明 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2,3,1,4)$ 不會是原方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一組解。
(b) 假設 $\mathrm{rank}(A)=2$ 且  $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2,3,1,4)$ 也是  $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一組解。請具體寫下一個與  $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有相同解集合的聯立方程。
 

以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

Suppose that $A\in M_{m\times n}$ and $B\in M_{n\times m}$ such that $BA=I_n$.

(a) Prove that if $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m$ is a solution of the homogeneous system $(AB-I_m)\mathbf{x}=\mathbf{0}$, then the linear system $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ is consistent.

(b) Prove that if the linear system $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ is consistent, then $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m$ is a solution of the homogeneous system $(AB-I_m)\mathbf{x}=\mathbf{0}$.

以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

考慮 $B$ 為 $k\times l$ 的矩陣，其中 $k\neq l$。假設存在矩陣 $A$ 使得 $AB$ 為 identity matrix。

(a) 請說明 $A$ 的階數以及 $AB$ 的階數。

(b) 試說明 rank($A$), rank($B$) 和 rank($AB$) 為何(注意：我們還不知道對於一般矩陣 $B$，rank($B$) 和 rank($B^t$) 的關係，這裡請用課堂上學的定理說明理由)

以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：

令 $A=
\begin{bmatrix}
   0 & 0 & 2 &2\\
   -2 & 4 & -3 & -1\\
   1 & -2 & 1 & 0
\end{bmatrix}$，且令聯立方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的增廣矩陣 $[A|\mathbf{b}]$ 利用 elementary row operation 後可化為 $[A'|\mathbf{b}']$，其中 $A'$ 為 reduced echelon form。

(a) 試將 $AA^{t}$ 的 2nd column 用矩陣乘法 column 的定義，具體寫成一些 column vectors 的線性組合(不必化簡)。試將 $AA^{t}$ 的 2nd row 用矩陣乘法 row 的看法，具體寫成一些 row vectors 的線性組合(不必化簡)。我們知道 $AA^t$ 是對稱矩陣，說明你的結果符合對稱矩陣的哪個特性。

讓我起個頭，後面請大家接力。

令 $T_1$ 為將 $i,j$ row 交換的 type 1 列運算；$T_2$ 是將 $i$-th row 乘上 $a$ 的 type 2 列運算；$T_3$ 是將 $j$-th row 乘上 $a$ 的 type 2 列運算。則 $T_1$，$T_2$ 不能交換。因為若先做 $T_1$ 再做 $T_2$，那麼 $i$-th row 會是原來的 $j$-th row 乘上 $a$；而若先做 $T_2$ 再做 $T_1$，那麼 $i$-th row 會是原來的 $j$-th row。故知 $T_2\circ T_1\ne T_1\circ T_2$。同理  $T_3\circ T_1\ne T_1\circ T_3$。

我們也可先說明  $T_2\circ T_1=T_1\circ T_3$（或 $T_3\circ T_1=T_1\circ T_2$）。再利用基本列運算的可逆性說明不可能 $T_2\circ T_1=T_1\circ T_2$（或 $T_3\circ T_1=T_1\circ T_3$）。

課堂上談到假設兩個 homogeneous systems $A{\mathbf x}=\mathbf 0$ 和 $B{\mathbf x}=\mathbf 0$ 有相同的解，其中 $A,B$ 為同階矩陣。則 $A$ 和 $B$ 有同樣的 reduced echelon form。

如果不是 homogeneous，假設 $A{\mathbf x}=\mathbf c$ 和 $B{\mathbf x}=\mathbf d$ 有相同的解且 $A,B$ 為同階矩陣。試問 $A$ 和 $B$ 有同樣的 reduced echelon form 嗎？