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以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：
令 $A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 &2\\
-2 & 4 & -3 & -1\\
1 & -2 & 1 & 0
\end{bmatrix}$，且令聯立方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的增廣矩陣 $[A|\mathbf{b}]$ 利用 elementary row operation 後可化為 $[A'|\mathbf{b}']$，其中 $A'$ 為 reduced echelon form。
(a) 試將 $AA^{t}$ 的 2nd column 用矩陣乘法 column 的定義，具體寫成一些 column vectors 的線性組合(不必化簡)。試將 $AA^{t}$ 的 2nd row 用矩陣乘法 row 的看法，具體寫成一些 row vectors 的線性組合(不必化簡)。我們知道 $AA^t$ 是對稱矩陣，說明你的結果符合對稱矩陣的哪個特性。
(b) 試利用 elementary row operations 將 $A$ 化成 $A'$，並將每一步驟所用的 elementary matrix 寫下，依序用 $E_1,E_2,\dots$ 表示(可以不必說明是用哪種 elementary row operation，除非不會用 elementary matrix 表示)。
(c) 說明當 $\mathbf{b}'=
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1\\
\end{bmatrix}$ 時，聯立方程組 $A'\mathbf{x}=\mathbf{b}'$ 是否有解，並利用前面 elementary row operations 的反運算寫出 $\mathbf{b}$。試說明此時聯立方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集合為何。
(d) 對於一般的 $\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3
\end{bmatrix}$ 利用前面 elementary matrices $E_1,E_2,\dots$ 的乘法寫下 $\mathbf{b}'$(用 $b_1,b_2,b_3$ 表示)，並依此說明 $b_1,b_2,b_3$ 需符合怎樣的關係式，才會使得 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。
(e) 寫下 homogeneous system $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的所有解(請用線性組合表示)。
(f) 已知 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,1,1,1)$ 是 nonhomogeneous system $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一組解，請寫下 $\mathbf{b}$ 以及 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的所有解。
(g) 試利用 pivot variable 和 free variable 的看法，分別說明上題 (f) 聯立方程組 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集合中有無滿足 $x_3=2,x_4=1$ 的解；有無滿足 $x_2=2,x_3=1,x_4=1$ 的解。再用 (e) 的解集合驗證。
(h) 試利用 elementary column operations 找到矩陣 $M$ 滿足 $A'M=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$
(i) 試用前面 elementary matrices $E_1,E_2,\dots$ 的乘法找到的矩陣 $E$ 使得 $EA=A'$，並利用前一小題的矩陣 $M$ 具體寫下兩矩陣 $BC$ 使得 $BAC=I_2$。
(j) 對於一般 $m\times n$ 矩陣 $A$，若 rank($A)=r$，試說明如何找到矩陣 $B,C$ 使得 $BAC=I_r$(注意 $B,C$ 的階數)。
(a) 題的嘗試解答
\(A= \begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 2\\ -2 & 4 & -3 & -1\\ 1 & -2 & 1 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow A^t=\begin{bmatrix}0 & -2 & 1\\ 0 & 4 & -2\\ 2 & -3 & 1\\ 2 & -1 & 0\end{bmatrix} \)
所以 \(AA^t\) 的 2nd column 是
\[\begin{align} A\begin{bmatrix}-2\\ 4\\ -3\\ -1\end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 2\\ -2 & 4 & -3 & -1\\ 1 & -2 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\ 4\\ -3\\ -1\end{bmatrix} \\ &=-2\begin{bmatrix}0\\ -2\\ 1\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\ 4\\ -2\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}2\\ -3\\ 1\end{bmatrix}-1\begin{bmatrix}2\\ -1\\ 0\end{bmatrix} \end{align}\]
而 \(AA^t\) 的 2nd row 是
\[\begin{align} \begin{bmatrix}-2 & 4 & -3 & -1\end{bmatrix}A^t &=\begin{bmatrix}-2 & 4 & -3 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -2 & 1\\ 0 & 4 & -2\\ 2 & -3 & 1\\ 2 & -1 & 0\end{bmatrix} \\ &=-2\begin{bmatrix}0 & -2 & 1\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0 & 4 & -2\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}2 & -3 & 1\end{bmatrix}-1\begin{bmatrix}2 & -1 & 0\end{bmatrix} \end{align}\]
由此可以看出，\(AA^t\) 的 2nd row 是它的 2nd column 的 Transpose
(b) 題的嘗試解答
\[\begin{align} \begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 2\\ -2 & 4 & -3 & -1\\ 1 & -2 & 1 & 0\end{bmatrix} &\sim \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ -2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 2\end{bmatrix} (\rm{Type 1:\ 1^{st},3^{rd} row交換}) \\ &\sim \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 2\end{bmatrix} (\rm{Type 3:\ 1^{st}\ row \times 2, 加到 2^{nd}\ row})\\ &\sim \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} (\rm{Type 3:\ 2^{nd}\ row \times 2, 加到 3^{rd}\ row})\\ &\sim \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} (\rm{Type 3:\ 2^{nd}\ row \times 1, 加到 1^{st}\ row})\\ &\sim \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} (\rm{Type 2:\ 2^{nd}\ row \times (-1)})\end{align}\]
所以 \(A'=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)
(c) 題的嘗試解答
\(A'\mathbf{x}=\mathbf{b'} \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\)
因為 \(A'\) 的 3rd row 全為 0 且 \(\mathbf{b'}\) 在該 row 為 \(1\) (\(0x_1+0x_2+0x_3+0x_4=1\))，所以 \(A'\mathbf{x}=\mathbf{b'}\) 無解
\(\begin{align} [A' \vert \mathbf{b'}]&=\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right]\\ &\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right] (\rm{Type 2:\ 2^{nd}\ row \times (-1)})\\ &\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right] (\rm{Type 3:\ 2^{nd}\ row \times (-1), 加到 1^{st}\ row})\\ &\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 3\end{array} \right] (\rm{Type 3:\ 2^{nd}\ row \times (-2), 加到 3^{rd}\ row})\\ &\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 & 2\\ -2 & 4 & -3 & -1 & -5\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 3\end{array} \right] (\rm{Type 3:\ 1^{st}\ row \times (-2), 加到 2^{nd}\ row})\\ &\sim \left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 2 & 2 & 3 \\ -2 & 4 & -3 & -1 & -5\\ 1 & -2 & 1 & 0 & 2\end{array} \right] (\rm{Type 1:\ 1^{st},3^{rd} row交換})\end{align}\)
因此 \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix} 3\\ -5\\ 2\end{bmatrix}\)
因為 \(A'\mathbf{x}=\mathbf{b'}\) 與 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 有相同的解集合，所以 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的解集合為 \(\varnothing\)
(e) 題的嘗試解答
\(A\mathbf{x}=\mathbf{0} \Rightarrow A'\mathbf{x}=\mathbf{0}\) (因為 \(\mathbf{0}\) 經過任意列運算後仍然為 \(\mathbf{0}\))
所以只要解 \(\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\) 即可
令 Free varibles \(x_2=s,\ x_4=t\)
\(x_3+x_4=0 \Rightarrow x_3+t=0,\ \therefore x_3=-t\)
\(x_1-2x_2+0x_3-x_4=0 \Rightarrow x_1-2s-t=0,\ \therefore x_1=2s+t\)
所以 \(\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2s+t\\ s\\ -t\\ t\end{bmatrix}\)
即 \(\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ -1\\ 1\end{bmatrix}\)
(f) 題的嘗試解答
將 \(\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\) 代入 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)，得到 \(\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 2\\ -2 & 4 & -3 & -1\\ 1 & -2 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4\\ -2\\ 0\end{bmatrix}\)，所以 \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix} 4\\ -2\\ 0\end{bmatrix}\)
\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的解為 \(\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ -1\\ 1\end{bmatrix}\)
(g) 題的嘗試解答
將 \(\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\) 代入 \(A'\mathbf{x}=\mathbf{b'}\)，得到 \(\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2\\ 2\\ 0\end{bmatrix}\)，所以 \(\mathbf{b'}=\begin{bmatrix} -2\\ 2\\ 0\end{bmatrix}\)
因為 \(x_1,\ x_3\) 是 pivot variables 且 \(x_2,\ x_4\) 是 free variables，所以 \(x_2,\ x_4\) 可以是任意實數，而 \(x_1,\ x_3\) 的值會根據 \(x_2,\ x_4\) 的值而變動
檢查 \(x_3=2,\ x_4=1\)
因為 \(x_3+x_4=2\) 且 free variable \(x_4=1\) ，解出 pivot variable \(x_3=1\) ，與 \(x_3=2,\ x_4=1\) 不符，所以沒有這樣的解
檢查 \(x_2=2,\ x_3=1,\ x_4=1\)
因為 \(x_3+x_4=2\) 且 free variable \(x_4=1\) ，解出 pivot variable \(x_3=1\)，又因為 \(x_2\) 是 free variable，所以有滿足 \(x_2=2,\ x_3=1,\ x_4=1\) 的解
提問：後半段文字不知道為什麼多了白底，我該如何去除它啊？
(b)(d)(h)(i)(j)現在已可回覆。
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