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以下題目為去年第一次期中考題，歡迎大家踴躍討論及解答：
Suppose that $A\in M_{m\times n}$ and $B\in M_{n\times m}$ such that $BA=I_n$.
(a) Prove that if $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m$ is a solution of the homogeneous system $(AB-I_m)\mathbf{x}=\mathbf{0}$, then the linear system $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ is consistent.
(b) Prove that if the linear system $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ is consistent, then $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m$ is a solution of the homogeneous system $(AB-I_m)\mathbf{x}=\mathbf{0}$.
回答補充問題
在 (b) 小題的 \(A(BA)\mathbf{x}_0 = A\mathbf{x}_0\) 的過程，需要 \(BA = I_n\) 這個前提，(a) 小題則不用。
(1)
將兩題整理成以下敘述，題目的前提和一些不必要的有省略：
(a) \(\forall \mathbf{c}, (AB-I_m)\mathbf{c}=\mathbf{0}\to(\exists \mathbf{v}, A\mathbf{v} = \mathbf{0})\)
(b) \(\forall \mathbf{c}, (\exists \mathbf{v}, A\mathbf{v}=\mathbf{0})\to(AB-I_m)\mathbf{c}=\mathbf{0}\)
觀察到這兩段敘述分別表示一段等價敘述的兩個方向。因此，這兩段敘述合併成一個敘述後會是 \[\forall \mathbf{c}, (\exists \mathbf{v}, A\mathbf{v}=\mathbf{0})\leftrightarrow(AB-I_m)\mathbf{c}=\mathbf{0}\]
也就是說，在題目給的前提下，對於所有的 \(\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m\)，\(\mathbf{c}\) 是 \((AB-I_m)\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解若且唯若 $A\mathbf{x} = \mathbf{c}$ 有解。
(2)
題目條件提到 \(BA = I_n\)，代表存在矩陣 \(B\) 使得 \(BA\) 為 identity。根據唯一性的等價條件，可以知道 \(A\mathbf{x}=\mathbf{c}\) 的解唯一。
由於已知 \(A\mathbf{x}=\mathbf{c}\) 有解 $B\mathbf{c}$，因此該解為唯一解。
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