先來一個簡單的，設現在有i-th row, j-th row, k-th row$\left[\begin{array}{c}i-th row\\ j-th row\\ k-th row\end{array}\right]$T1用type1將i,j row交換，T2用type1將j,k row交換。

先做T1再做T2$\left[\begin{array}{c}i-th row\\ j-th row\\ k-th row\end{array}\right]\underset{T1}{\to }\left[\begin{array}{c}j-th row\\ i-th row\\ k-th row\end{array}\right]\underset{T2}{\to }\left[\begin{array}{c}j-th row\\ k-th row\\ i-th rorw\end{array}\right]$

和先做T2再做T1$\left[\begin{array}{c}i-th row\\ j-th row\\ k-th row\end{array}\right]\underset{T2}{\to }\left[\begin{array}{c}i-th row\\ k-th row\\ j-th row\end{array}\right]\underset{T1}{\to }\left[\begin{array}{c}k-th row\\ i-th row\\ j-th row\end{array}\right]$

的結果不同，故對三個不同的row做兩次不同的type1列運算不能交換

我愛學數學的寫法不錯，利用矩陣的圖像解釋，比我用文字解說清楚多了。建議矩陣將第幾個 row 寫在外面，就會更清楚。

例如：$\begin{array}{c}i\\j\\k\end{array}\left[\begin{array}{c}-\mathbf{a}-\\ -\mathbf{b}-\\-\mathbf{c}-\end{array}\right]$

上例 Latex 的數學語法為：
\begin{array}{c}i\\j\\k\end{array}
\left[\begin{array}{c}-\mathbf{a}-\\ -\mathbf{b}-\\-\mathbf{c}-\end{array}\right]

大家可以嘗試看看（別忘了加“$”符號）。

令T1 T1 為將 i-thi,j row 乘上2加到 j-th row 的 type 3 列運算；T2T2 是將 ji-th row 乘上3加到 i-th row 的 type 3 列運算
則T1 T2不能交換 如果先做T1再做T2 原先的i-th row變為 7i-th row +3j-th row 原先的j-th row變為 2i-th row + j-th row
而如果先做T2再做T1 則 原先的i-th row變為 i-th row +3j-th row 原先的j-th row變為 2i-th row + 7j-th row
因此 對兩個row做兩次不同的type3列運算 不能交換

令矩陣 $A$ 如下：

$A = \begin{bmatrix} -\mathbf{a}- \\ -\mathbf{b}- \\ -\mathbf{c}- \end{bmatrix}$

如題，不妨將涉及的同一個row定為a-th row，定義兩個列運算如下：

$T_1$：將第 $a$-th row 乘上非零實數 $r$，即：$\mathbf{r}_a \leftarrow r\mathbf{r}_a$
$T_2$：將第 $a$-th row 乘上1並加到第 $b$-th row：$\mathbf{r}_b \leftarrow \mathbf{r}_b + \mathbf{r}_a$

---

順序一：先 $T_1$再 $T_2$：

1. 初始：$A = \begin{bmatrix} -\mathbf{a}- \\ -\mathbf{b}- \\ -\mathbf{c}- \end{bmatrix}$

2. $T_1$ 之後：$\begin{bmatrix} -r\mathbf{a}- \\ -\mathbf{b}- \\ -\mathbf{c}- \end{bmatrix}$

3. $T_2$ 之後：$\begin{bmatrix} -r\mathbf{a}- \\ -\mathbf{b} + r\mathbf{a}- \\ -\mathbf{c}- \end{bmatrix}$

---

順序二：先 $T_2$再 $T_1$：

1. 初始：$A = \begin{bmatrix} -\mathbf{a}- \\ -\mathbf{b}- \\ -\mathbf{c}- \end{bmatrix}$

2. $T_2$ 之後：$\begin{bmatrix} -\mathbf{a}- \\ -\mathbf{b} + \mathbf{a}- \\ -\mathbf{c}- \end{bmatrix}$

3. $T_1$ 之後：$\begin{bmatrix} -r\mathbf{a}- \\ -\mathbf{b} + \mathbf{a}- \\ -\mathbf{c}- \end{bmatrix}$

---

觀察到兩個順序的第二個row結果不同，因此不能交換。
 

茗毅 排版注意一下，而且若用矩陣表法來說明會比較清楚。

gata666 為何 $T_2$ 要局限在乘上1呢？若乘上一般的 $s$ 不是更完美嗎？