Reduced Echelon Form | 李華介教學討論區

16 September 2025

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課堂上談到假設兩個 homogeneous systems $A{\mathbf x}=\mathbf 0$ 和 $B{\mathbf x}=\mathbf 0$ 有相同的解，其中 $A,B$ 為同階矩陣。則 $A$ 和 $B$ 有同樣的 reduced echelon form。

如果不是 homogeneous，假設 $A{\mathbf x}=\mathbf c$ 和 $B{\mathbf x}=\mathbf d$ 有相同的解且 $A,B$ 為同階矩陣。試問 $A$ 和 $B$ 有同樣的 reduced echelon form 嗎？

啊啊啊啊啊

張翔誠實名討論三, 2025-10-01 08:52

想法 $A [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix}] = \overset{⇀}{c} 其中 [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix}] 應該會等於 [\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] + r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}} B \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{d} 同理 \overset{⇀}{x} = [\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] + r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}} 直接換成 h o m o g e n e o u s s y s t e m s 必有一解 \overset{⇀}{0} 故 A \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{0} 和 B \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{0} 的解為 \overset{⇀}{x} = r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}} 兩解一致所以 A B 都可以化成相同的 r e d u c e d e c h e l o n f o r m$

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若無解怎麼辦？

Li 三, 2025-10-01 22:49

這個回覆用到了有解且解集合相同時，則 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 和 $B\mathbf{x}=\mathbf{d}$ 就會有同樣的解集合。應該再把論述說清楚一點。另外問題是問解集合相同，所以要注意都無解的情況。

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好的我試試

張翔誠實名討論四, 2025-10-02 19:50

首先設兩者均有解

$A [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix}] = \overset{⇀}{c} 其中 [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix}] 應該會等於 [\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] + r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}} B \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{d} 同理 \overset{⇀}{x} = [\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] + r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}} A [\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] = \overset{⇀}{c} B [\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] = \overset{⇀}{d} 又 A ([\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] + r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}}) = \overset{⇀}{c} B ([\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ ⋮ \\ E_{n} \end{matrix}] + r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}}) = \overset{⇀}{d} 相減得到 A (r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}}) = \overset{⇀}{0} B (r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}}) = \overset{⇀}{0} 皆 h o m o g e n e o u s s y s t e m s 故 A \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{0} 和 B \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{0} 的解為 \overset{⇀}{x} = r_{1} \overset{⇀}{v_{1}} + r_{2} \overset{⇀}{v_{2}} + \dots + r_{k} \overset{⇀}{v_{k}} 兩解一致所以 A B 都可以化成相同的 r e d u c e d e c h e l o n f o r m$

若兩者解集合是空集合

例如 $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ， B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}]$ A跟B就不相等

我只是想要換行，我修改內容就不見了，我還沒有存檔，紅溫

就只是這串文字就重打了4遍

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由題目敘述引發的疑問，以及我的想法。

晴月夢四, 2025-10-02 22:25

若兩「同階」的 homogeneous systems 的解集合相等，就能判斷兩者的 Reduced Echelon Form 相等，是相當強的命題。在講義提到的定理中，僅提到我們能以「其中一個能不能用基本列運算轉換成另一個」去判斷解集合有沒有可能相等，或是能知道 pivot 的位置和個數是否一樣；Reduced Echelon Form 的唯一性，也僅僅說明我們有可靠的方法初步判別解集合是否相等。

而這段敘述的出現，表示其 converse 也是對的。代表對待「同階」的 homogeneous systems 時，可以精確的描述這些 systems 的解集合是否相等，反之也可以用解集合來判別。不過，若兩 homogeneous systems 的解集合相同，會有什麼樣的性質，講義中其實沒有定理去描述這件事情。

為此我重新翻閱了一遍 Week 2 的講義，從這些定理的證明中整理出了以下敘述：

Theorem 1.3.7 的證明的過程中，要求兩矩陣「解集合相同」、「為 reduced echelon form」、「pivot 個數和位置相同」，且使用的是 homogeneous system，運用 Lemma 1.3.2 和 Lemma 1.3.3，並使用 Proposition 1.3.5，引用「這兩個矩陣是由 A 化簡而來的敘述」，作為「pivot 個數和位置相同」的前提。
Proposition 1.3.5 的證明中，一樣使用 homogeneous systems。先說明兩 system 的解集合相同，僅依此條件，運用 echelon form 的性質，和 Lemma 1.3.2 和 Lemma 1.3.3，證明了 pivot variable 的個數和位置一致，並沒有再引用到原矩陣跟兩 echelon form 的關係。

也就是說，Proposition 1.3.5 的證明，其實證明了兩 echelon form 的 homogeneous systems 如果解集合一致，其 pivot variable 的個數和位置一致。這樣，Theorem 1.3.7 中「pivot 個數和位置相同」的論述，就可替換為「因為 reduced echelon form 的矩陣也是 echelon form 且為 homogeneous systems，根據 Proposition 1.3.5，兩矩陣的 pivot 個數和位置相同」，跟基於 elementary row operation 的條件就獨立了。

因此就能證明，任兩同階的 reduced echelon form 的矩陣，其對應的 homogeneous systems 若解集合相同，則兩矩陣相同。根據 elementary row operation 的性質，可以進一步的說，任兩同階矩陣，若其對應的 homogeneous systems 解集合相同，則兩矩陣對應的 reduced echelon form 相同。

其核心，就是從 echelon form 出發，探討 pivot variable 和 free variable 的性質，特別是其對於解集合的影響，最後變得能直接從解集合出發，去證明這些定理。

當然，這段論述的前提還有一個，就是 elementary row operation 作用後，解集合不變。這確實也沒在 Week 2 中以定理的形式出現，不過這就比較 trivial 了......

不知道是不是因為我沒認真聽課，我覺得這件事並沒有那麼理所當然。😂

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回答張翔誠實名討論的問題

Li 週五, 2025-10-10 11:57

為什麼一定要把解集合寫出來呢？還沒有向量空間的概念，解集合為何長這個樣子並無法確定，而且在回答此問題是沒有必要的。

請嘗試用：(1) 若 $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 的兩組解，則 $\mathbf{v}-\mathbf{w}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一組解。(2) 若 $\mathbf{v}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 的一組解，且 $\mathbf{u}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的一組解，則 $\mathbf{v}+\mathbf{u}$ 也是 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 的一組解。

說明若 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 和 $B\mathbf{x}=\mathbf{d}$ 都有解且解集合相同，則 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 和 $B\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解集合也相同。

關於無解的情形，找到例子解釋知道它就不成立，很好。這是因為前面的論述都是假設有解的情況討論，所以在無解的情況自然不適用。現在我們已經知道有無解的情況發生，表示係數矩陣的 rank 有何特性。是否由此結果說明一下為何在無解的情況矩陣 $A,B$ 未必有同樣的 reduced echelon form?

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回答晴月夢的問題

Li 週五, 2025-10-10 12:43

在學習的過程中，會獲得許多訊息。此時最重要的工作就是能整合這些訊息，才算真正了解與運用。同樣的，當有疑問時，也要把自己不清楚的地方整合起來，這樣才能分類依序一個一個處理；而不是混在一起，而顯得雜亂無章無從著手。

在 Week02講義 1.2 節的結束，我們問了三個問題：(1)所有矩陣都可以化成 echelon form 嗎？(2) elementary row operation 的過程會影響解集合嗎？(3) 這樣就能找到所有的解嗎？這三個問題都在 1.3 節回答了。你可能還需要再了解一下這些背後原理。

了解了上面所說的三個問題後，兩個同階的 homogeneous systems 若有同樣的 reduced echelon 則解集合相同，自然沒問題。至於反過來呢？從解集合相同可以了解它們有相同的 pivot variables，所以可以決定它們的 reduced echelon form 其基本形式。也就是說 reduced echelon form 其 pivot 在的 column 其每個 entry 皆已確定（這是 reduced echelon form 的基本用意），至於 free variables 所在的 column 其每個 entry 如何確定呢？就是 Theorem 1.3.7 的證明所談的，可以利用 homogeneous 的解來確定。也就是說 Theorem 1.3.7 表面看起來是解決 reduced echelon form 的唯一性，可是實質上它是說明了 reduced echelon form 可以利用解集合來決定。這也是 Exercise 1.8 的用意：如何利用聯立方程組的解，先確定 pivot 所在位置，知道其 reduced echelon form 的基本形式，再利用這些解確定 reduced echelon form 為何。

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