考慮矩陣 $A=
   \begin{bmatrix}
       0 & 1 & 2 & -3\\
       4 & 5 & 6 & -7\\
       8 & 9 & 10 & -11\\
       12 & 13 & 14 & -15
   \end{bmatrix}$。將矩陣 $A$ 做一系列基本列運算後可化為
   $\begin{bmatrix}
       1 & 0 & -1 & 2\\
       0 & 1 & 2 & -3\\
       0 & 0 & 0 & 0\\
       0 & 0 & 0 & 0
   \end{bmatrix}$，令 $A$ 的 column vector 依序為 $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\mathbf{a_3},\mathbf{a_4}$

(a) （3分）請分別寫下 Col$(A)$、Row$(A)$ 以及 $N(A)$ 的 basis。

(b) （2分）已知 $\mathbb{R}^4$ 的維度為 4。試說明最簡單檢查 (a) 中所找 Row$(A)$ 以及 $N(A)$ 的 basis 放在一起是否可成為 $\mathbb{R}^4$ 的 basis 的方法，並檢查之。

(c) （2分）請說明 $\mathbf{a_1},\mathbf{a_3}$ 是否也可為 Col$(A)$ 的一組 basis，並說明 $\mathbf{a_1'}=
       \begin{pmatrix}
           0\\
           1\\
           2\\
           3
       \end{pmatrix},\mathbf{a_3'}=
       \begin{pmatrix}
           1\\
           3\\
           5\\
           7
       \end{pmatrix}$ 是否也可為 Col$(A)$ 的一組 basis。

(d) （1分）請說明如何檢查 $\mathbf{a_1'},\mathbf{a_3'}$ 是否在 Row$(A)$ 中，並檢查之。若 $\mathbf{a_1'},\mathbf{a_3'}$ 皆不在 Row$(A)$ 中，是否可得 Col$(A)\cap$Row$(A)=\{\mathbf{0}\}$？

(e) （2分）若 $\mathbf{v}\in$Col$(A)$，請利用 $\mathbf{a_1'},\mathbf{a_3'}$ 以 $c_1,c_2$ 為參數寫下 $\mathbf{v}$ 的坐標表示法，並說明當 $\mathbf{v}\in$Row$(A)$ 時 $c_1,c_2$ 需滿足的方程式，因而找到 Col$(A)\cap$Row$(A)$ 所有的向量。