林宥呈
6 November 2025
討論區
假設 $V$ 為 vector space 且 $W$ 為其 subspace。考慮 $S=(V\backslash W)\cup\{\mathbf{0}\}$。
（Note：$V\backslash W=\{\mathbf{v}\in V|\mathbf{v}\notin W\}$）
(a) 說明當 $W=V$ 或 $W=\{\mathbf{0}\}$ 時，$S$ 會是 $V$ 的 subspace。
(b) 證明當 $W\neq V$ 且 $W\neq\{\mathbf{0}\}$（即 $W$ 為 $V$ 的 nontrivial subspace）時，$S$ 一定不會是 $V$ 的 subspace。
幾個建議
- 解法若無太大差異，請不要重複。
- 符號的使用請注意。這裡因為有 $V$ 還有聯集 $\bigcup$，"或"、"且" 應避免用 $\vee$, $\wedge$。
- 論述過於冗長，避免不必要敘述且適時說明到哪些條件。例如 (b) 不需一開始列出所有條件。只要提到因 $W\ne V$ 所以 $V\setminus W\ne \emptyset$ 即可。最後清楚寫下找到哪兩個元素不符合加法封閉。
題目問的是 $S$，但整個論述沒有 $S$ 不會很奇怪嗎？例如(a)寫：當 $W=V$ 時，$S=\left(V\setminus V\right)\cup\{\mathbf{0}\} = \emptyset\cup\{\mathbf{0}\}=\{\mathbf{0}\}$。是不是比較清楚？
這個問題是針對許多同學誤以為 vector space 扣掉 subspace 再補上零向量還是 vector space。論證時會發現滿足係數積封閉性（請務必自行論證）；但不滿足加法封閉。是不是和我們談 subspace 的聯集很像呢？希望大家能善用課堂上所學（這樣才有學到新的東西）。其實此題本意是希望能用反證法，然後直接套用所學到有關 subspace 聯集的性質，就可得到矛盾。
本主題請 晴月夢 將所寫修改得更簡明，可得 2pts. ；其他同學若能完整補上前述反證法的論證（記住一定要說清楚何時用到前提假設），也可得 2pts.
手寫證明過程，附部分解釋。
手寫證明過程
我附上了兩個版本，為了收穫證明撰寫的反饋，以準備段考。
建議直接從第二版開始看。
證明過程中，我們省略了：
我不確定這樣在段考中合不合法。
第一版：
第二版：
解釋
(a) 小題利用到 $V$ 的 trivial subspaces ——$\{\mathbf{0}\}$ 和 $V$。分情況，化簡過後即可自然發現。
(b) 小題過程用 constructive（嗎？） 的辦法說明了為什麼 $S$ 通常不會是 $V$ 的 subspace —— 加法沒有封閉性。藉此，足以回答題目。
我們從 $V\setminus W$ 和 $W\setminus \{\mathbf{0}\}$ 中找向量，最後構成一個反例。
也就是說，如果 $W = \{\mathbf{0}\}$ 或 $W = V$，$V\setminus W$ 和 $W\setminus \{\mathbf{0}\}$ 有一個是空集合，(b) 小題的方法就不會成立了。這也揭示了找到證明思路的方法。
$\mathbf{0}$ 顯然在 $S$ 裡。那麼，我們尚未說明的是， $S$ 裡的向量的係數積，有封閉性嗎？
請多指點。
PS：又到了煩惱如何撰寫易讀達意嚴謹證明的時節了。