\[
\text{取 }N(A)\text{ 的一組 basis：}
\]

\[
u_1=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{bmatrix},
\quad
u_2=
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1\\
\vdots\\
0
\end{bmatrix},
\quad
\cdots,
\quad
u_{n-1}=
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
\vdots\\
0\\
-1
\end{bmatrix}.
\]

\[
Au_i=\mathbf 0.
\]

\[
\text{再取最後一個 eigenvector 為 }\mathbf v.
\]

\[
\text{令}
\quad
P=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 & a_1\\
-1 & 0 & \cdots & 0 & a_2\\
0 & -1 & \cdots & 0 & a_3\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & -1 & a_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
u_1 & u_2 & \cdots & u_{n-1} & \mathbf v
\end{bmatrix}.
\]

\[
\text{這 }n\text{ 個向量 linearly independent，故 }P\text{ 可逆。}
\]

\[
\quad
D=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & c
\end{bmatrix}.
\]

\[
\text{因此}
\quad
P^{-1}AP=D.
\]

由 Proposition 7.4.6 得到 0 的 algebraic multiplicity 大於或等於 geometric multiplicity ，即 0 的 algebraic multiplicity 大於或等於 \(n-1\) ，因此 0 是 \(A\) 的 characteristic polynomial 的至少 \(n-1\) 重根，故 \(x^{n-1}\) 必整除 \(A\) 的 characteristic polynomial

參考解答 (1) 在論證 $\text{rank}(A) = 1$ 時，應該要輔以 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$，這樣 $\mathbf{v}$ 自己才會是線性獨立，也才會是 $\text{Span}(\mathbf{v})$ 的 basis。

回覆 晴月夢：

我原本寫證明時有注意到這點，以為題目有說就毋需特別說明，後來想想，其實你說得對，應該再額外說明 \(\mathbf{v}\ne\mathbf{0}\) 比較完整，否則單看原本的論述會令人誤以為無論 \(\mathbf{v}\) 是任何向量，都有 \(\mathrm{rank}(A)=1\)

參考解答 (1) 的更正如下：

因為 \(\mathrm{rank}(A)=1<n\) ，所以 \(A\) 不可逆，故 \(\det(A)=0 \Rightarrow \det(A-0I)=0\) ，從而 \(0\) 是 \(A\) 的一個 eigenvalue

而 \(0\) 的 geometric multiplicity 即為 \(\mathrm{dim}(E_A(0))=\mathrm{nullity}(A-0I)=\mathrm{nullity}(A)=n-1\)

參考解答中一些論述都是因為未提及問題的條件，而讓人看不懂。其中一些已被指出，但一些還是有問題。本題很有意思，尤其小題(3)是主要關鍵，為何無法完成？其實本題可推廣到一般 rank one 的矩陣，大家也可討論如何推廣。

結合 stochastic matrix 所介紹的極限概念，我們知道一個可對角化的矩陣 $A$ 若極限 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}A^k$ 存在，則其極限也是可對角化；但反過來呢？若極限可對角化，原來的矩陣也可對角化嗎？