手寫證明過程

      在證明過程中，我漏寫了 $A \in M_{n\times n}$，也就是 $A$ 為方陣這個條件。這部分我會在解釋中補充。

解釋

      (a) 小題中，我們透過 $A^{k-1} \not= O$ 的條件，找出了形如 $A^{k-1}\mathbf{v}$ 的非零向量，再透過 $A^k = O$ 使得該向量滿足題目所求。

      $\exists \mathbf{v}, A\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 則表示 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有 non-trivial solutions。利用唯一性的等價條件，再利用 $A$ 為方陣和可逆性的等價條件，就可以知道 A 為 non-invertible。

      (b) 小題中，我們左乘 $A^{k-1} + \dots + I_n$，讓左邊變成 identity，進而完成證明。注意這樣做是正確的前提是「$A$ 為方陣」。

      而 $(A - I_n)\mathbf{v} = \mathbf{0}\to \mathbf{v}=\mathbf{0}$ 則表示 $(A - I_n)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 只有 trivial solution，則利用唯一性的等價條件，再利用 $A$ 為方陣和可逆性的等價條件，知 $(A - I_n)$ 為 invertible。

     「$A$ 為方陣」這個前提主要用在以下幾點：

• 形如 $A^{k}$ 的表示法。
• 可逆性的等價條件
• $(A^{k-1} + \dots + I_n)(A - I_n) = A^k - I_n$

      不過，我們在 (b) 小題中使用的方法，實際上比較像是使用 $\exists C, CA = I_n$ 這個方法來處理，也就是說，就算不得出 $(A - I_n)\mathbf{v} = \mathbf{0}\to \mathbf{v}=\mathbf{0}$ 這個條件，我們也能夠得到「$(A - I_n)$ 為 invertible」的結論。我很好奇，(a) 小題的方法和結論，能不能應用在 (b) 小題中呢？如果可以，(b) 小題會有什麼其他的解法？

      PS：我發現把向量的符號省略，會在寫 $\exists$ 又不加範圍時，產生歧義，所以在這題還是把它補上了 XD

我覺得晴月夢的思路和解答，相當不錯，但它有在其中提到 N(A)，這個我們應該還沒學過吧（應該吧），所以這裏就用解的唯一性的敘述來闡述以及解答：（有部分是按自己思路解的，有錯無怪）

      QWQ. 發出前請記得確認貼上的圖片是否正確。

     另外 $N(A)$ 指的是 homogeneous system $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解集。$N(A) = \{0\}$ 代表 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 只有 trivial solution $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ i.e. 沒有 non-trivial solutions。

     PS：翻了下講義，發現這個符號好像還真的沒出現過😱

討論請用大家熟悉的語言。晴月夢 (a) 的想法其實和 QWQ 寫法一致。不過對於存在性的問題，直接寫出所要的向量驗證之會比較清楚明確。作業或考試，對於講義或課堂提及的性質，都可以直接套用，不必重新論述。所以只要說出符合或不符合哪一個可逆的等價條件，來說明可逆或不可逆即可。

晴月夢 (b) 用到 $x^n-1$ 的分解以及多項式乘法 $h(x)=f(x)g(x)$ 會和代入矩陣相乘$h(A)=f(A)g(A)$相符，這個概念並不容易（以後會用到）。 

QWQ 最後整理得很清楚，本主題就此結束。晴月夢 2pts.  QWQ 1pts.