在 $\mathbb{R}^4$ 中考慮 dot product. 令 $W=\{(a,b,c,d):a+b-c=0\}$ 以及 $\mathbf{v}=(0,4,-2,2)$.
(a) （1分）找到矩陣 $A$ 使得 $W=N(A)$, 並依此找到 $W$ 的一組 basis。

(b) （3分）利用 (a) 找到的 basis 以及 Gram-Schmidt Process 找到 $W$ 的一組 orthogonal basis。

(c) （2分）利用 (b) 找到的 orthogonal basis 求 $\mathbf{v}$ 在 $W$ 的 orthogonal projection。

(d) （3分）利用 (a) 找到的 basis 依序寫成矩陣  $B$ 的 column vectors，並寫下 $B$ 的 QR decomposition。

(e) （2分）利用 QR decomposition 寫下對 $W$ 的投影矩陣。

(f) （3分）利用 (d) 找到的矩陣 $B$，說明聯立方成組 $B\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 的 normal equation 為何，並利用 QR decomposition 找出 $B\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 的 least squares solution。

(g)（1分）說明如何利用 $B\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 的 least squares solution 找出 $\mathbf{v}$ 在 Col$(B)$ 的 orthogonal projection，並寫出此向量。

(h)（2分）利用 $N(A)^{\perp}=$Col$(A^t)$ 求出 $W^\perp$ 的一組 basis，並依此分別求 $\mathbf{v}$ 在 $W^\perp$ 以及 $W$ 的 orthogonal projection。

(i) （2分）利用 $W^\perp$ 的一組 basis 寫下對 $W^\perp$ 的投影矩陣，並求得對 $W$ 的投影矩陣。

(j) （2分）考慮方程組 $A\mathbf{x}=6$。試利用找 minimal solution 的方式找到其 minimal solution。並說明為何 $\mathbf{v}$ 在 $W^\perp$ 的投影就是其 minimal solution。

(k)（1分）利用 $A\mathbf{x}=6$ 的 minimal solution $\mathbf{x}_0$ 在 Row$(A)$ 中，直接找出 $\mathbf{x}_0$。

(l) （1分）利用 Cauchy-Schwarz inequality（「柯西、舒瓦茲」不等式）找到 $A\mathbf{x}=6$ 的 minimal solution。