考慮 $\mathbb{R}^4$ 中的 subspace $U,W$，其中 $\mathbf{u_1}=(1,0,0,-1),\mathbf{u_2}=(0,1,0,-1),\mathbf{u_3=(0,0,1,1)}$ 為 $U$ 的一組 basis 且 $\mathbf{w_1}=(1,0,-1,0),\mathbf{w_2}=(0,1,-1,0),\mathbf{w_3}=(0,0,0,1)$ 為 $W$ 的一組 basis。

令矩陣 $A$ 為將 $U,W$ 的這兩組 basis 依序寫成 row vector 所成的矩陣，而矩陣 $B$ 為將他們依序寫成 column vector 所成的矩陣。已知將 $A,B$ 化成 reduced echelon form 分別為

$A'=
   \begin{bmatrix}
       1 & 0 & 0 & 0\\
       0 & 1 & 0 & 0\\
       0 & 0 & 1 & 0\\
       0 & 0 & 0 & 1\\
       0 & 0 & 0 & 0\\
       0 & 0 & 0 & 0\\
   \end{bmatrix}$，
   $B'=\begin{bmatrix}
       1 & 0 & 0 & 0 & -1 & \frac{-1}{2}\\
       0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
       0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\
       0 & 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2}
   \end{bmatrix}$

我們希望利用 $U$ 這組 basis 且加入 $\mathbf{w_1},\mathbf{w_2},\mathbf{w_3}$ 其中的向量得到 $U+W$ 的一組 basis。

(a)（1分）請說明應利用矩陣 $A$ 或矩陣 $B$ 來找到這一組 basis，並說明為何 $\mathbf{u_1},\mathbf{u_2},\mathbf{u_3},\mathbf{w_1}$ 會是 $U+W$ 的一組 basis。

(b) （2分）將 $\mathbf{w_2},\mathbf{w_3}$ 寫成 (a) 所述的 basis 的線性組合。並利用這些線性組合找到 $U\cap W$ 的一組 basis。（Hint：若 $\mathbf{w_2}=c_1\mathbf{u_1}+c_2\mathbf{u_2}+c_3\mathbf{u_3}+c_4\mathbf{w_1}$，則 $\mathbf{w_2}-c_4\mathbf{w_1}$ 有何特性?）