我們目前所學 $T$-invariant space 概念，在於如何找 $T$-invariant space 幫助我們了解 $T$ 相關的問題，例如 eigenvalue 的 g.m. $\le$ a.m. 或 Cayley-Hamilton Thm. 不同的問題要找的 $T$-invariant space 不同。若要求過多反而受限。為了怕同學誤解，在習題討論區曾強調不一定可以找到 $T$ 的表現矩陣會是所謂的 block diagonal form。目前僅要了解當 $W$ 為 $T$-invariant 時 $T|_W$ 和 $T$ 的關係即可。以後（高線）會希望找到一個 $T$ 的表現矩陣的代表（canonical form），當我們把矩陣化成 canonical form，這樣化成同一個 canonical form 的矩陣就確定它們是 similar 因而知道來自於同一個 linear operator.

Canonical form 的概念就像這裡所提的將矩陣儘量化成 block diagonal form，再將其中每個 block 再化成 block diagonal form 直到不能再化簡為止。這裡就需要用到 Caley-Hamilton。首先求其 chacteristic polynomial $p_T(x)$ 然後將此多項式在考慮的 field 分解。接下來就得用到大二代數學的 over field 的多項式環是 Euclidean domain 處理。由於這個部份和整數很像，所以大致說一下說不定可以理解。我們將 $p_T(x)$ 分解成質因式的乘積（和整數分解成質數乘積一樣）。由於多項式 $f(x)$ 代入 $T$ 所得的 linear operator $f(T)$ 的 nullspace 也會是 $T$-invariant（習題）。而若 $f(x),g(x)$ 互質，利用存在 $h_1(x),h_2(x)$ 使得 $f(x)h_1(x)+g(x)h_2(x)=1$（和數論很像），很容易推論 $N(f(T))$ 和 $N(g(T))$ 的向量是 independent 的。所以將 $p_T(x)$ 分解成相異質因式乘積 $p_1(x)^{m_1}\cdots p_k(x)^{m_k}$ 考慮 $N(p_i^{m_i}(T))$ 這一堆 $T$-invariant space 它們的基底就可形成 $V$ 的基底。而 $N(p_i^{m_i}(T))$ 的這一部分就需進一步分析才知能否再化簡。所以基本上若特徵多項式是質式（不可分解多項式）的次方就可能會有不可再分解的情況發生。