林宥呈 12 April 2026 討論區 線性代數習題討論 參考解答 QWQ. 周日, 2026-04-12 16:25 因 $\mathbf{v} \in V$ 為 $T$ 之一個 eigenvalue 為 $\lambda$ 的 eigenvector，即 $T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}$，假設 $T^{k-1}(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \mathbf{v}$ 成立，那麼$T^k(\mathbf{v}) = (T \circ T^{k-1})(\mathbf{v}) = T(T^{k-1}(\mathbf{v})) = T(\lambda^{k-1} \mathbf{v})$因 $T$ 為 linear，知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} T(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \cdot \lambda \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$故 By 數學歸納法，可知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^k (\mathbf{v})， \forall k \in \mathbb{N}$此時，$$\begin{aligned} (f(T))(\mathbf{v}) &= a_n T^n(\mathbf{v}) + \dots + a_1 T(\mathbf{v}) + a_0 \text{id}_V(\mathbf{v}) \\ &= a_n \lambda^n \mathbf{v} + \dots + a_1 \lambda \mathbf{v} + a_0 \mathbf{v} \\ &= (a_n \lambda^n + \dots + a_1 \lambda + a_0) \mathbf{v} \\ &= f(\lambda) \cdot \mathbf{v} \end{aligned}$$ $\therefore \mathbf{v}$ 為 $f(T)$ 的 eigenvector，其對應的 eigenvalue 為 $f(\lambda)$. 登入 或 註冊 以發表評論。
參考解答 QWQ. 周日, 2026-04-12 16:25 因 $\mathbf{v} \in V$ 為 $T$ 之一個 eigenvalue 為 $\lambda$ 的 eigenvector，即 $T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}$，假設 $T^{k-1}(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \mathbf{v}$ 成立，那麼$T^k(\mathbf{v}) = (T \circ T^{k-1})(\mathbf{v}) = T(T^{k-1}(\mathbf{v})) = T(\lambda^{k-1} \mathbf{v})$因 $T$ 為 linear，知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} T(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \cdot \lambda \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$故 By 數學歸納法，可知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^k (\mathbf{v})， \forall k \in \mathbb{N}$此時，$$\begin{aligned} (f(T))(\mathbf{v}) &= a_n T^n(\mathbf{v}) + \dots + a_1 T(\mathbf{v}) + a_0 \text{id}_V(\mathbf{v}) \\ &= a_n \lambda^n \mathbf{v} + \dots + a_1 \lambda \mathbf{v} + a_0 \mathbf{v} \\ &= (a_n \lambda^n + \dots + a_1 \lambda + a_0) \mathbf{v} \\ &= f(\lambda) \cdot \mathbf{v} \end{aligned}$$ $\therefore \mathbf{v}$ 為 $f(T)$ 的 eigenvector，其對應的 eigenvalue 為 $f(\lambda)$. 登入 或 註冊 以發表評論。
參考解答
因 $\mathbf{v} \in V$ 為 $T$ 之一個 eigenvalue 為 $\lambda$ 的 eigenvector，
即 $T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}$，
假設 $T^{k-1}(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \mathbf{v}$ 成立，那麼
知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} T(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \cdot \lambda \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$
故 By 數學歸納法，可知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^k (\mathbf{v})， \forall k \in \mathbb{N}$
此時，