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林宥呈
12 April 2026

討論區

QWQ. 周日, 2026-04-12 16:25

因 $\mathbf{v} \in V$ 為 $T$ 之一個 eigenvalue 為 $\lambda$ 的 eigenvector，
即 $T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}$，

假設 $T^{k-1}(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \mathbf{v}$ 成立，那麼

$T^k(\mathbf{v}) = (T \circ T^{k-1})(\mathbf{v}) = T(T^{k-1}(\mathbf{v})) = T(\lambda^{k-1} \mathbf{v})$
因 $T$ 為 linear，

知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} T(\mathbf{v}) = \lambda^{k-1} \cdot \lambda \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$

故 By 數學歸納法，可知 $T^k(\mathbf{v}) = \lambda^k (\mathbf{v})， \forall k \in \mathbb{N}$

此時，

$$\begin{aligned} (f(T))(\mathbf{v}) &= a_n T^n(\mathbf{v}) + \dots + a_1 T(\mathbf{v}) + a_0 \text{id}_V(\mathbf{v}) \\ &= a_n \lambda^n \mathbf{v} + \dots + a_1 \lambda \mathbf{v} + a_0 \mathbf{v} \\ &= (a_n \lambda^n + \dots + a_1 \lambda + a_0) \mathbf{v} \\ &= f(\lambda) \cdot \mathbf{v} \end{aligned}$$
 
$\therefore \mathbf{v}$ 為 $f(T)$ 的 eigenvector，其對應的 eigenvalue 為 $f(\lambda)$.

Li 週一, 2026-04-20 09:53

假設 $p_T(x)$ 為 linear operator $T:V\to V$ 的 characteristic polynomial 且 $\mathbf{v}$ 為 $T$ 的 eigenvector，試問 $\mathbf{v}$ 是否為 linear operator  $p_T(T)$ 的 eigenvector？若是，其 eigenvalue 為何？

注意：請直接套用本習題的結論，沒有必要用到 Cayley-Hamilton.

QWQ. 四, 2026-04-23 13:21

因 $p_T(x)$ 為多項式 且 $T:V \to V$ 為 linear operator，
又 $\mathbf{v}$ 為 $T$ 之 eigenvector $\Rightarrow \exists \lambda \in \mathbb{F}$ s.t. $T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}$

故 By Ex. 7.3 之結論，
知 $\mathbf{v}$ 為 linear operator $p_T(T)$ 之 eigenvector，
即$p_T(T)(\mathbf{v}) = p_T(\lambda) \cdot \mathbf{v}$

因 $\lambda$ 為 $T$ 之一個 eigenvalue，
i.e. $\lambda$ 是 $p_T(x)$ 之一根，故 $p_T(\lambda) = 0$
$\therefore p_T(T)(\mathbf{v}) = 0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}$

$\therefore$ 其 eigenvalue 為 $0$

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