假設 $A, B \in M_n$ 且 $A, B$ 為 similar，
即 $\exists P \in M_n$ 且 $P$ 為 invertible s.t. $B = P^{-1}AP$.

(1) Prove: $A^t, B^t$ 為 similar.

因 $B = P^{-1}AP$  
故 $PB = AP$  
$(PB)^t = (AP)^t$  
$B^t P^t = P^t A^t$
因 $\text{rank}(P^t) = \text{rank}(P) = n$，故 $P^t$ 亦為 invertible.  
故有 $B^t = P^t A^t (P^t)^{-1}$  

令 $Q = (P^t)^{-1}$，
則 $B^t = Q^{-1} A^t Q$

$\therefore A^t, B^t$ 為 similar.

(2) Prove: $A^{-k}, B^{-k}$ 為 similar.

因 $B = P^{-1}AP$  
故 $PB = AP$

因 $A$ 為 invertible，
故得 $A^{-1}PB = P$

又 $B$ 為 invertible，
得 $A^{-1}P = PB^{-1}$
$B^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$

$\therefore A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 為 similar.

此時，

$B^{-2} = B^{-1} \cdot B^{-1}$  
$ = (P^{-1}A^{-1}P)(P^{-1}A^{-1}P)$  
$ = P^{-1}A^{-1} \cdot PP^{-1} \cdot A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-1} \cdot A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-2}P$

發現規律，創造命題，用數學歸納法證明：

命題：$B^{-k} = P^{-1}A^{-k}P， \forall k \in \mathbb{N}$

① 當 $k=1, 2$ 時，命題皆成立

② 假設 $B^{-(k-1)} = P^{-1}A^{-(k-1)}P$ 成立，那麼，

$B^{-k} = B^{-(k-1)} \cdot B^{-1}$  
$ = (P^{-1}A^{-(k-1)}P)(P^{-1}A^{-1}P)$  
$ = P^{-1}A^{-(k-1)} PP^{-1} A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-(k-1)} A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-k}P$

$\therefore$ 由數學歸納法，知 $B^{-k} = P^{-1}A^{-k}P, \forall k \in \mathbb{N}$， 
即 $A^{-k}$ 和 $B^{-k}$ 為 similar.