假設 $A, B \in M_n$ 且 $A, B$ 為 similar，
即 $\exists P \in M_n$ 且 $P$ 為 invertible s.t. $B = P^{-1}AP$.

(1) Prove: $A^t, B^t$ 為 similar.

因 $B = P^{-1}AP$  
故 $PB = AP$  
$(PB)^t = (AP)^t$  
$B^t P^t = P^t A^t$
因 $\text{rank}(P^t) = \text{rank}(P) = n$，故 $P^t$ 亦為 invertible.  
故有 $B^t = P^t A^t (P^t)^{-1}$  

令 $Q = (P^t)^{-1}$，
則 $B^t = Q^{-1} A^t Q$

$\therefore A^t, B^t$ 為 similar.

(2) Prove: $A^{-k}, B^{-k}$ 為 similar.

因 $B = P^{-1}AP$  
故 $PB = AP$

因 $A$ 為 invertible，
故得 $A^{-1}PB = P$

又 $B$ 為 invertible，
得 $A^{-1}P = PB^{-1}$
$B^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$

$\therefore A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 為 similar.

此時，

$B^{-2} = B^{-1} \cdot B^{-1}$  
$ = (P^{-1}A^{-1}P)(P^{-1}A^{-1}P)$  
$ = P^{-1}A^{-1} \cdot PP^{-1} \cdot A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-1} \cdot A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-2}P$

發現規律，創造命題，用數學歸納法證明：

命題：$B^{-k} = P^{-1}A^{-k}P， \forall k \in \mathbb{N}$

① 當 $k=1, 2$ 時，命題皆成立

② 假設 $B^{-(k-1)} = P^{-1}A^{-(k-1)}P$ 成立，那麼，

$B^{-k} = B^{-(k-1)} \cdot B^{-1}$  
$ = (P^{-1}A^{-(k-1)}P)(P^{-1}A^{-1}P)$  
$ = P^{-1}A^{-(k-1)} PP^{-1} A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-(k-1)} A^{-1}P$  
$ = P^{-1}A^{-k}P$

$\therefore$ 由數學歸納法，知 $B^{-k} = P^{-1}A^{-k}P, \forall k \in \mathbb{N}$， 
即 $A^{-k}$ 和 $B^{-k}$ 為 similar.

前一題唸說都不按規矩仔細寫下過程；這一題反而多寫了一些不必要的步驟（為何將 similar 改寫為 $PB=AP$？）。

（2）好像還沒證到$A$為invertible則$B$亦為invertible 

det$(A)$=det$(P^{-1}BP)$

=det$(P^{-1})$det($B$)det&(P)&

=det$(P^{-1})$det&(P)&det&(B)$

=det$(B)$

故，若det$(A)$$\neq0$，即A可逆

則det$(B)\neq0$，B也可逆

請問後續可以不用數歸證嗎？

是否可以直接敘述

$B^{（-1）×k}$=（$P^{-1}A^{-1}P$)（$P^{-1}A^{-1}P$)…（$P^{-1}A^{-1}P$)乘k次

其中($PP^{-1}$)合併為$I$抵銷，剩$P^{-1}A^{（-1）×k}P$

即$B^{-k}=P^{-1}A^{-k}P$得證

針對第(1)題

老師有提到這一題反而多寫了一些不必要的步驟，因此我認為可以這麼修改。

因為 \(A,B\) 為 similar ，故存在 \(P \in M_{n \times n}\) 為 invertible 使得

\[B=P^{-1}AP\]

將上式的等號兩邊取轉置，得到 \(B^t=(P^{-1}AP)^t=P^tA^t(P^{-1})^t\)

令 \(Q = (P^t)^{-1}\)，於是\(Q^{-1}= ((P^t)^{-1})^{-1}=P^t\)，即可將上式改寫為

\[B^t=Q^{-1}A^tQ\]

從而 \(A^t,B^t\) 也為 similar 

回覆：小題(2)確實需先論述 $A$ 為 invertible 則 $B$ 為 invertible。至於論證 $A^k\sim B^k$ 是否需用到數學歸納法？確實也不必，但用數學歸納法比 $(P^{-1}AP)\cdots(P^{-1}AP)$ 乘 $k$ 次這樣的說法清楚且明瞭。

提問：小題(2)其實把有關 similar 的性質併在一起問。亦即當 $A\sim B$ 時 (1) $A^k\sim B^k$ (2) 若 $A$ 可逆且 $B$ 可逆且 $A^{-1}\sim B^{-1}$。這些都很容易從 linear operator 的角度知道它們的正確性。另外很容易想到的問題是當 $A,B,C,D$ 為同階方陣滿足 $A\sim B$ 且 $C\sim D$，是否 $AC\sim BD$？請用 linear operator 的角度思考它的合理性；再來就是能否證明或找到反例。