假設 $Q \in \mathbb{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ is an orthogonal matrix，
則 $Q^t Q = I_n$.

(1)任取 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，
皆有 $Q^t Q \mathbf{v} = I_n \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$.  
故 $Q^t Q$ 的 eigenvalue 只有 1.

因此，$\sigma_i = \sqrt{1} = 1, \quad \forall i = 1, \dots, n$，  
$\Sigma = \begin{bmatrix} 1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & 1 \end{bmatrix} = I_n.$

(2)若 $Q = U \Sigma V^t$ 為 $Q$ 之一組 SVD，
由 (1) 知 $\Sigma = I_n$，
故 $Q = U V^t$.

$Q V = U V^t V.$

因 $V$ 為 orthogonal matrix，
故 $V^t V = I_n$，
得 $Q V = U$.

令 $U = Q V$.

Claim: 
① $U$ 為 orthogonal matrix.  
② $Q = U \Sigma V^t$ 確實為 $Q$ 的一組 SVD.

① $U^t U = (Q V)^t (Q V) = V^t Q^t Q V = V^t I_n V = V^t V = I_n.$

$\therefore U$ 為 orthogonal matrix.

② $U \Sigma V^t = Q V I_n V^t = Q V V^t = Q I_n = Q.$

因此 $Q = U \Sigma V^t$ 為一組SVD，其中 $\Sigma = I_n$，$U = Q V$ 為 orthogonal matrix.

首先這裡一個重要的 Key 就是 svd 中 $\Sigma$ 的唯一性不要忽略。(2)題目說的很清楚：給定 $Q,V$ 要找到 $U$。怎麼一開始就假設 $Q=U\Sigma V^t$ 呢？讓人搞不懂在證存在性還是唯一性。記得：(1)證出唯一的$\Sigma=I_n$ 後，就可以輕鬆的說明 $Q$ 的 svd 了！