(1) 

任取 $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}, \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n$, $r \in \mathbb{R}$,

$S(\mathbf{a} + r\mathbf{b}) = S\left( \begin{bmatrix} a_1 + rb_1 \\ \vdots \\ a_n + rb_n \end{bmatrix} \right) = \sum_{i=1}^n (a_i + rb_i) = \sum_{i=1}^n a_i + r\sum_{i=1}^n b_i = S(\mathbf{a}) + rS(\mathbf{b})$

$\therefore S$ 為 linear map.

又：

$S(\mathbf{e}_1) = 1 + 0 + \dots + 0 = 1$

$S(\mathbf{e}_2) = 0 + 1 + \dots + 0 = 1$

同理，$S(\mathbf{e}_n) = 1$。

$[S]_\varepsilon^{\varepsilon'} = \begin{bmatrix} S(\mathbf{e}_1) & S(\mathbf{e}_2) & \dots & S(\mathbf{e}_n) \end{bmatrix}_{\varepsilon'}$

由此知：$[S]_\varepsilon^{\varepsilon'} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix} \in \mathrm{M}_{1\times n}(\mathbb{R})$

(2)
$[S \circ T_A]_\varepsilon^{\varepsilon'} = [S]_\varepsilon^{\varepsilon'} [T_A]_\varepsilon^\varepsilon = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix} A$

(3) Let $A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \dots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}$, $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$，

$(\Rightarrow)$
若 $A$ 為 stochastic matrix，
可知 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{a}_i \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{a}_i = 1$
此時，
$[S \circ T_A]_\varepsilon^{\varepsilon'} = \begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 \end{bmatrix} A = \mathbf{u}^T \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \dots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{u}^T\mathbf{a}_1 & \dots & \mathbf{u}^T\mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 \end{bmatrix} = [S]_\varepsilon^{\varepsilon'}$  
$\therefore S \circ T_A = S$

$(\Leftarrow)$
若 $S \circ T_A = S$，
則 $[S \circ T_A]_\varepsilon^{\varepsilon'} = [S]_\varepsilon^{\varepsilon'}$

$\begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 \end{bmatrix} A = \begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{u}^T \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \dots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \mathbf{u}^T\mathbf{a}_1 & \dots & \mathbf{u}^T\mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}$

由此可知 $\mathbf{u}^T\mathbf{a}_i = 1, \quad \forall i=1,\dots,n$，即 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{a}_i \rangle = 1$
又由假設，$A$ 的每個 entry 皆為非負實數，即 $A$ 之每個 entry $\ge 0$
$\therefore A$ 為 stochastic matrix.

(4) $S \circ (T_A \circ T_B) = (S \circ T_A) \circ T_B$

因 $A$ 為 stochastic matrix，
故 $S \circ T_A = S$

$\therefore S \circ (T_A \circ T_B) = S \circ T_B$

$(\Rightarrow)$
若 $B$ 為 stochastic matrix，
則 $S \circ T_B = S$，
得 $S \circ (T_A \circ T_B) = S$
$\therefore AB$ 為 stochastic matrix.

$(\Leftarrow)$
若 $AB$ 為 stochastic matrix，
則 $S \circ (T_A \circ T_B) = S$，
得 $S \circ T_B = S$
$\therefore B$ 為 stochastic matrix.

(5) 令 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$BA = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

此時，$A$ 和 $BA$ 為 stochastic matrix，但 $B$ 不是 stochastic matrix.

(4) ($\Rightarrow$) 

這段，最後應該要補上類似「因為 $A$ 和 $B$ 的 entry 都非負，$AB$ 的 entry 也非負，故有 $AB$ 為 stochastic。」的敘述，需要用到「$B$ 的 entry 為非負」的條件。否則反例就像 (5) 所顯示的一樣 ($B$ 為 $A$ 的反矩陣，$AB = I$ 和 $A$ 皆為 stochastic，但 $B$ 不是。實際上 $B$ 有負的 entry。)

請更正：小題(5)是延續(4)，所要找的反例也要求 $B$ 的每個 entry 非負。

再強調一次，習題不是解出即可，行有餘力時，請好好思考題目編排的整體性。這也是同學平常學習數學需多加強的地方：(一)能將所學習概念整合，而不是單一記憶各個概念；(二)會問問題。本題的精華就在於小題(4)證明了當 $A$ 為 stochastic 且 $B$ 每個 entry 非負，則由 $AB$ 為 stochastic 可推得 $B$ 為 stochastic。我們難道一點也不好奇：若是 $BA$ 為 stochastic 可否推得 $B$ 為 stochastic 呢？當然不能用無法用同法證明說它是錯的；小題(5)就是希望能找到反例：$B$ 的每個 entry 非負，且 $A$、$BA$ 為 stochastic 但 $B$ 不是 stochastic。因為我小小疏失，忘了再強調 $B$ 的每個 entry 非負。同學也未深思為何題目改為 $BA$ 為 stochastic 就直接給個反例。以為解決問題了，但錯過了整題最精華之處，實在可惜。

前面小題(4)的參考解答，就有大家常犯的錯誤：沒有說明何處用到題目的條件。這會衍生的問題就是無法得知論證者是否認為不需這條件也對。還好有人發現無此條件就無法得到所需結論。所以再次提醒，請明確表明何處用到了題設；或是認為題設是多餘了，也可表明論證之。這是大家要走入數學之道。另外題目也擔心同學論證的不完備，表明利用"合成與矩陣乘法關聯說明"，這也是同學由 $S \circ (T_A \circ T_B) = S$ 直接說 $AB$ 為 stochastic 的缺失。