\[
A=uv^t,\qquad u,v\in \mathbb R^n,
\]
 \(u,v\) 皆為非零 column vector。

由
\[
A^t=(uv^t)^t=vu^t
\]
可得
\[
A^tA=(vu^t)(uv^t)=v(u^tu)v^t=(u^tu)\,vv^t.
\]

因此
\[
A^tA=(\|u\|^2)\,vv^t.
\]
\[
A^tA\,v=(\|u\|^2)\,vv^tv
=(\|u\|^2)(v^tv)\,v
=\|u\|^2\|v\|^2\,v.
\]
所以 \(v\) 是 \(A^tA\) 的 eigenvector，eigenvalue 為
\[
\lambda_1=\|u\|^2\|v\|^2.
\]

又因為
\[
A^tA=(\|u\|^2)\,vv^t
\]
是 rank \(1\) 矩陣，所以只有一個非零 eigenvalue，其餘 eigenvalue 皆為 \(0\)。
故 \(A^tA\) 的唯一非零 eigenvalue 就是
\[
\lambda_1=\|u\|^2\|v\|^2.
\]

由 singular value 的定義，
\[
\sigma_1=\sqrt{\lambda_1}
=\sqrt{\|u\|^2\|v\|^2}
=\|u\|\,\|v\|.
\]
因此 \(A\) 的唯一非零 singular value 為
\[
\sigma_1=\|u\|\,\|v\|.
\]

我不知道rank \(1\) 矩陣，所以只有一個非零 eigenvalue怎麼證明

\[
A = uv^t
\]

\[
A = [u_1]\bigl(\|u\|\,\|v\|\bigr)[\pm v_1^t]
\]

\[
= \|u\|u_1\,\|v\|v_1^t = uv^t.
\]

\[
v_1 = \pm \frac{v}{\|v\|}
\]

\[
Av_1 = \sigma_1 u_1 = \|u\|\,\|v\|\,u_1
\]

\[
Av_1 = uv^t v_1
     = uv^t\left(\pm \frac{v}{\|v\|}\right)
     = \pm u \frac{\|v\|^2}{\|v\|}
     = \pm \|v\|u
\]

\[
= \|u\|\,\|v\|\,u_1
\]

\[
u_1 = \pm \frac{u}{\|u\|}
\]

故
\[
u_1 = \pm \frac{u}{\|u\|},\qquad
v_1 = \pm \frac{v}{\|v\|}
\]
且同號

不要只有一些數學式子在那裡，別人看到的只是一些等式，有何意義？尤其在做代數操作時，要清楚表達身在何處。哪些是矩陣、哪些是實數、矩陣又是幾階矩陣？切記，寫下的東西是要讓別人看的，若只有自己懂那何必寫呢？多用文字表達你睿智的想法，不是更能讓人激賞嗎？

數學論述切忌將覺得對的寫下但不知其原因，這也是同學常犯不知自己證明是否有誤的問題。確保你寫下的是完整確認過。前面小題(2)最大的問題便是完全沒有表達 $U$、$V$、$\Sigma$ 是什麼。記得當 $A$ 為 $n\times n$ 矩陣， $U$、$V$、$\Sigma$ 都應是 $n\times n$ 矩陣。