(1)設$v,\lambda$為$A$的一個eigenvector及對應的eigenvalue，因為$A^{2}=A$，有

$A^{2}v=A(\lambda v)=\lambda Av=\lambda^{2}v$

$Av=\lambda v$

兩者相等，可得$\lambda=0,1$，即A可能的eigenvalue.

(2)A是symmetric matrix，可對角化，且eigenvalue只有$0,1$，因此$\mathbb{R}^{n}=E_{1} \oplus E_{0}$

令$E_{1}=span(v_{1},...,v_{k}), E_{0}=span(w_{1},...,w_{m}), k+m=n$

對$R^{n}$中的向量$V=\sum_{i=1}^{k} c_{i}v_{i}+\sum_{i=1}^{m} d_{i}w_{i}$，有

$AV=A\sum_{i=1}^{k} c_{i}v_{i}+\sum_{i=1}^{m} d_{i}w_{i}$

$=1(\sum_{i=1}^{k} c_{i}v_{i})+0(\sum_{i=1}^{m} d_{i}w_{i})$

$=1(\sum_{i=1}^{k} c_{i}v_{i})$

即$A$將$\mathbb{R}^{n}$中的向量投影到$W=E_{1}$

這題是 Exercise 8.7 的延續，請注意該題對投影矩陣所使用的英文。

我們並沒有介紹探討 direct sum 的概念。Direct sum 的概念到高線對學習 linear operator 對向量空間分解成一些 invariant subspace 非常重要。不過我們目前還不需這個概念，主要原因是向量間的 linear independent 概念先完備了，再談 subspace 之間的 independent。否則會對 direct sum 概念有許多錯誤看法。在線性代數中，一般較抽象空間（例如無 inner product）由於 direct sum 的概念，會有一般的 projection 概念。我們這裡僅談 orthogonal projection，也就是大家習慣熟悉的幾何上的投影。論壇是讓大家一起探討的地方，所以請儘量避免用大部分同學不知道的符號及概念。況且若對 direct sum 概念完善應該了解符合 $A^2=A$ 的矩陣（不需 $A$ 為 symmetric）一定可以對角化且就是前面所提適用於所有向量空間抽象的 projection matrix，那這一個問題有何意義？我們這裡要求 $A$ 為 symmetric，當然是要求證明 $A$ 是幾何上的投影矩陣（orthogonal projection）。上面參考解答(2)的論述有何不足，大家應可補正。另外(1) eigenvalue 的判定，也需再說明清楚一點。