注意到 \(A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) ，因此 \(2\) 為 \(A\) 的 eigenvalue 且 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 為它對應的 eigenvector

由 Spectral Theorem: 因為 \(A \in \mathbb{R}_{2 \times 2}\) 為實對稱矩陣，所以 \(A\) 可正交對角化，因此 \(A\) 能找到另一個 eigenvector 與 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) 正交

\( \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \rangle = 0 \implies v_1+v_2=0 \implies v_1=-v_2\)，取 \(\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\) 即得到與 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) 正交的 eigenvector

假設與 \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\) 對應的 eigenvalue 為 \(\lambda\)，因為所有 eigenvalue 的乘積為 determinant，所以我們有： \(2\lambda=k\) 即 \( \lambda=\frac{k}{2}\)

將兩個 eigenvectors 化為單位向量：

\( \mathbf{u}_1=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix},\ \mathbf{u}_2=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\)

因此 \(A\) 的正交對角化形式為 \(A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{k}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\)

\(\implies A=\begin{bmatrix} 1+\frac{k}{4} & 1-\frac{k}{4} \\ 1-\frac{k}{4} & 1+\frac{k}{4} \end{bmatrix}\)

注意到 \(\langle (1,1,-1), (1,1,2) \rangle = 1+1-2=0 \) 及  \(\langle (1,-1,0), (1,1,2) \rangle = 1-1+0=0 \) ，因此 \((1,1,2)\) 與 \((1,1,-1)\) 和 \((1,-1,0)\) 都正交

因為 \( \dim (\mathbb{R}^3)=3\) ，所以 \((1,1,2)\), \((1,1,-1)\), \((1,-1,0)\) 是 \(\mathbb{R}^3 \) 的一組 orthogonal basis

令 \(A=\left[ T \right]_\varepsilon^\varepsilon\)，由 Spectral Theorem: 因為 \(A \in \mathbb{R}_{3 \times 3}\) 為實對稱矩陣，所以 \(A\) 可正交對角化，因此 \((1,1,2)\) 也是 \(A\) 的 eigenvector 且對應的 eigenvalue 為 \(2\) (否則會沒有對應的 eigenvalue 為 \(2\) 的 eigenvalue)

\(\implies T(1,1,2)=2(1,1,2)=(2,2,4)\)

上面兩個參考解答的論述若沒有特別提及所在向量空間的維度，會讓人誤以為只要對稱矩陣中與 eigenvector 垂直的向量都是 eigenvector 這個錯誤概念。請大家避免使用：『因為可正交對角化，利用垂直得到 eignvector 』這樣的論述。儘量把握課堂上告訴大家的：『因為 eigenvalue 不同 eigenvector 會垂直』，這一個主要原因。