$16x^2 + 24xy + 9y^2 + cx + 4y = d \quad (c, d \in \mathbb{R})$

可用矩陣表示成：
$\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16 & 12 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = d$

令 $A = \begin{bmatrix} 16 & 12 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$

$P_A(t) = t^2 - 25t + 0 = t(t - 25)$

- 對於 eigenvalue 為 0：  
$A - 0I_2 = \begin{bmatrix} 16 & 12 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{E.R.O.}} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
$E_A(0) = \text{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -3/4 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} = \text{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix} \right\}$

- 對於 eigenvalue 為 25：  
$A - 25I_2 = \begin{bmatrix} -9 & 12 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{E.R.O.}} \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
$E_A(25) = \text{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 4/3 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} = \text{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$

令 $Q = \begin{bmatrix} -3/5 & 4/5 \\ 4/5 & 3/5 \end{bmatrix}$，$D = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 25 \end{bmatrix}$，
則有 $Q^t A Q = D$

令 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = Q \begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix}$，

則 $\begin{bmatrix} \bar{x} & \bar{y} \end{bmatrix} Q^t A Q \begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c & 4 \end{bmatrix} Q \begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} = d$

$\begin{bmatrix} \bar{x} & \bar{y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{16-3c}{5} & \frac{4c+12}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} = d$

$25\bar{y}^2 + \frac{16-3c}{5}\bar{x} + \frac{4c+12}{5}\bar{y} = d$

(1) 圖形為拋物線 $\iff \frac{16-3c}{5} \neq 0 \iff c \neq \frac{16}{3}$.

(2) $c = \frac{16}{3}$ 時會使得圖形為退化情形.

此時，方程為 $25\bar{y}^2 + \frac{4(16/3)+12}{5}\bar{y} = d$

$25\bar{y}^2 + \frac{20}{3}\bar{y} = d$

$25\left(\bar{y}^2 + \frac{20}{75}\bar{y} + \left(\frac{10}{75}\right)^2\right) - 25\left(\frac{10}{75}\right)^2 = d$

$25\left(\bar{y} + \frac{10}{75}\right)^2 - \frac{4}{9} = d$

$25\left(\bar{y} + \frac{2}{15}\right)^2 = d + \frac{4}{9}$

- $d > -\frac{4}{9}$ 時，圖形為兩平行直線.
- $d = -\frac{4}{9}$ 時，圖形為一直線.
- $d < -\frac{4}{9}$ 時，圖形為空集合.