$\mathrm{先論證}T{|}_W \mathrm{為一個} linear operator$

$\forall \mathit{w}\in W=Span({\mathit{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{v}}_{\mathbf{2}})$$, 令 \mathit{w}=c_1{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}+c_2{\mathit{v}}_{\mathbf{2}}$$T\left(\mathit{w}\right)=c_{1}T\left({\mathit{v}}_{\mathbf{1}}\right)+c_{2}T\left({\mathit{v}}_{\mathbf{2}}\right)=c_1\left(a{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}\right)+c_2(b{\mathit{v}}_{\mathbf{1}}+c{\mathit{v}}_{\mathbf{2}})=(c_{1}a+c_{2}b){\mathit{v}}_{\mathbf{1}}+\left(c_{2}c\right){\mathit{v}}_{\mathbf{2}}$

$\mathrm{因此}T{|}_W \mathrm{為一個} linear operator$

$令\beta =({\mathit{v}}_{\mathbf{1}},{\mathit{v}}_{\mathbf{2}})為W\mathrm{的一組} orderded basis$

$T{|}_W\mathrm{的表現矩陣用}\beta \mathrm{表示為} {\left[T{|}_W\right]}_{\beta }=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right]$

$知T{|}_W的 characteristic polynomial P_{T{|}_W}\left(x\right)=det\left(\right[T{|}_W]-x{I}_2)=(a-x)(c-x)$

$\mathrm{此時若}a=c , W\mathrm{中只有一個} eigenvalue \lambda =a$

$求\lambda 的 eigenspace E_{T{|}_W}\left(\lambda \right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ 0& c-\lambda \end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}0& b\\ 0& 0\end{array}\right]\right)=Span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\right\}$

$得 \forall \mathit{w}\in Span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\right\} , \mathit{w}\mathbf{ }為 eigenvalue 為 a 的 eigenvector$

$\mathrm{現在考慮}a\ne c , W\mathrm{中有兩個} eigenvalue {\lambda }_1=a , {\lambda }_2=c$

$求{\lambda }_1的 eigenspace E_{T{|}_W}\left({\lambda }_1\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}a-{\lambda }_1& b\\ 0& c-{\lambda }_1\end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}0& b\\ 0& c-a\end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}0& b\\ 0& 0\end{array}\right]\right)=Span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\right\}$

$求{\lambda }_2的 eigenspace E_{T{|}_W}\left({\lambda }_2\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}a-{\lambda }_2& b\\ 0& c-{\lambda }_2\end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}a-c& b\\ 0& 0\end{array}\right]\right)=Span\left\{\left(\begin{array}{c}-b\\ a-c\end{array}\right)\right\}$

$得 \forall \mathit{w}\in Span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\right\} , \mathit{w}\mathbf{ }為 eigenvalue 為 a 的 eigenvector$$\forall \mathit{w}\in Span\left\{\left(\begin{array}{c}-b\\ a-c\end{array}\right)\right\} , \mathit{w}\mathbf{ }為 eigenvalue 為 c 的 eigenvector$

1. 注意到先論述 $T|_W$ 為 operator 才能用矩陣處理，非常好。但這樣的 $W$ 有特殊名稱為何不使用呢？另外需要真的列出 $W$ 所有的元素的映射方式，不能用基底嗎？希望同學儘量能在論述中表現出理解的成熟度。
2. 曾經說過，使用英文正、斜體在數學有明確規範，請勿混用造成他人閱讀困難。
3. 已經知道 eigenvalue 後，寫下以及計算 eigenspace 就不要再用 $\lambda$ 表示，否則在計算 nullspace 較難看懂推導過程。
4. 這是最嚴重部份。題目已提示注意 $b$ 的取值，請大家一起檢視前面參考解答是否正確。

$\mathrm{對於}b\mathrm{的取值},\mathrm{我少論證了}b=0\mathrm{的情況}$

$若a=c , \mathrm{此時}W\mathrm{中只有一個eigenvalue} \lambda =a$

$\mathrm{考慮}b\ne 0 ,a的\mathrm{eigenspace} 為N\left(\left[\begin{array}{cc}a-a& b\\ 0& c-a\end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}0& b\\ 0& 0\end{array}\right]\right)=Span{\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\right\}}^{ }$

$\mathrm{注意此處}a的\mathrm{eigenspace是相對於表現矩陣}{\left[T{|}_W\right]}_{\beta }的\mathrm{eigenspace}$

$\mathrm{換回}T{|}_W\mathrm{對於}a的\mathrm{eigenspace為Span}\left\{{\mathbf{v}}_1\right\}$

$\mathrm{現在考慮}b=0 , a的\mathrm{eigenspace}為N\left(\left[\begin{array}{cc}a-a& b\\ 0& c-a\end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\right) ,\mathrm{即收集那些}\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\mathit{v}=\mathbf{0}\mathrm{的向量}$

$故a的\mathrm{eigenspace}\mathrm{為整個}W$

$\mathrm{現在若}a\ne c , \mathrm{此時}W\mathrm{中有兩個eigenvalue} {\lambda }_1=a , {\lambda }_2=c$

$\mathrm{同理}b\ne 0\mathrm{時的論述與原版相同}$

$\mathrm{將結果從相對於}{\left[T{|}_W\right]}_{\beta }的\mathrm{eigenspace換成相對於}T{|}_W的\mathrm{eigenspace}$

$\mathrm{得到}a的\mathrm{eigenspace為Span}\left\{{\mathbf{v}}_1\right\},c的\mathrm{eigenspace為Span}\left\{\right(-b{\mathbf{v}}_1+(\mathrm{a}-\mathrm{c}){\mathbf{v}}_2\left)\right\}$

$\mathrm{現在考慮}b=0$

$a的\mathrm{eigenspace}為N\left(\left[\begin{array}{cc}a-a& b\\ 0& c-a\end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& c-a\end{array}\right]\right)=Span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\right\}$

$c的\mathrm{eigenspace}為N\left(\left[\begin{array}{cc}a-c& b\\ 0& c-c\end{array}\right]\right)=N\left(\left[\begin{array}{cc}a-c& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\right)=Span\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right\}$

$\mathrm{將結果從相對於}{\left[T{|}_W\right]}_{\beta }的\mathrm{eigenspace換成相對於}T{|}_W的\mathrm{eigenspace}$

$\mathrm{得到}a的\mathrm{eigenspace為Span}\left\{{\mathbf{v}}_1\right\},c的\mathrm{eigenspace為Span}\left\{{\mathbf{v}}_2\right\}$