$因 dim\left(\mathit{w}\right)=k , W=Span(\mathit{v},T(\mathit{v}), ... ,T^{k-1}(\mathit{v}\left)\right)$

$\forall \mathit{w}\in W , \mathrm{現若}\mathit{w}=c_0\mathit{v}+c_{1}T\left(\mathit{v}\right)+ ... +c_{k-1}{T}^{k-1}\left(\mathit{v}\right) , \mathrm{其中}{c}_0,c_1,...,c_{k-1}\in \mathbb{\text{F}}$

$\mathrm{可取}f\left(x\right)=c_0+c_{1}x+ ... +c_{k-1}{x}^{k-1}$

$\mathrm{此時}f\left(T\right)=c_{0}i{d}_v+c_{1}T+ ... +c_{k-1}{T}^{k-1}$

$\mathrm{因此有}f\left(T\right)\left(\mathit{v}\right)=c_0\mathit{v}+c_{1}T\left(\mathit{v}\right)+ ... +c_{k-1}{T}^{k-1}\left(\mathit{v}\right)=\mathit{w}\mathbf{ }\mathbf{ }$

$\mathrm{現假設}f\left(x\right)\mathrm{取法不唯一}$

$\mathrm{即存在}{f}_1\left(x\right)=c_0+c_{1}x+ ... +c_{k-1}{x}^{k-1} , f_2\left(x\right)=c{\text{'}}_0+c{\text{'}}_{1}x+ ... +c{\text{'}}_{k-1}{x}^{k-1}\mathrm{皆滿足條件且}{c}_0,...,c_{k-1}\mathrm{不全和}c{\text{'}}_0,...,c{\text{'}}_{k-1}\mathrm{相等}$

$\mathrm{此時}\mathit{w}=f_1\left(x\right)=f_2\left(x\right) \Rightarrow c_0\mathit{v}+c_{1}T\left(\mathit{v}\right)+ ... +c_{k-1}{T}^{k-1} \left(\mathit{v}\right)= c{\text{'}}_0\mathit{v}+c{\text{'}}_{1}T\left(\mathit{v}\right)+ ... +c{\text{'}}_{k-1}{T}^{k-1} \left(\mathit{v}\right)$

$\mathrm{移項得}(c_0-c{\text{'}}_0)\mathit{v}+(c_1-c{\text{'}}_1)T\left(\mathit{v}\right)+ ... +(c_{k-1}-c{\text{'}}_{k-1})T^{k-1} \left(\mathit{v}\right)=\mathbf{0}$

$因c_0,...,c_{k-1}\mathrm{不全和}c{\text{'}}_0,...,c{\text{'}}_{k-1}\mathrm{相等}$

$得(c_0-c{\text{'}}_0),(c_1-c{\text{'}}_1), ... , (c_{k-1}-c{\text{'}}_{k-1})\mathrm{不全為零}$

$\mathrm{此時}\mathit{v},T\left(\mathit{v}\right), ... ,T^{k-1}\left(\mathit{v}\right)為linear dependent , \mathrm{矛盾}$

$\mathrm{因此證得}f\left(x\right)\mathrm{存在且唯一}$

$若g\left(x\right)=a_0+a_{1}x+ ... +a_{n}x , \mathrm{其中}{a}_0,a_1,...,a_n\in \mathbb{F}$$\forall \mathit{v}\in N , 有g\left(T\right)\left(\mathit{v}\right)=\mathbf{0}\mathbf{ }\Rightarrow a_0\mathit{v}+a_{1}T\left(\mathit{v}\right)+ ... +a_n{T}^n\left(\mathit{v}\right)=\mathbf{0}$

$\mathrm{而要論證}T\left(\mathit{v}\right)\in N\mathrm{即為說明}g\left(T\right)\left(T\right(\mathit{v}\left)\right)=\mathbf{0}$

$g\left(T\right)\left(T\right(\mathit{v}\left)\right)= a_{0}T\left(\mathit{v}\right)+a_{1}T\left(T\right(\mathit{v}\left)\right)+ ... +a_n{T}^n\left(T\right(\mathit{v}\left)\right)= T(a_0\mathit{v}+a_{1}T(\mathit{v})+ ... +a_n{T}^n(\mathit{v}\left)\right)$

$\mathrm{注意因}{a}_0\mathit{v}+a_{1}T\left(\mathit{v}\right)+ ... +a_n{T}^n\left(\mathit{v}\right)=\mathbf{0}\mathbf{ }, \mathrm{我們有}g\left(T\right)\left(T\right(\mathit{v}\left)\right)=T\left(\mathbf{0}\right)=0$

$\mathrm{因此}T\left(\mathit{v}\right)\in N , \forall \mathit{v}\in N 即N為T-invariant subspace$

$因W為\mathit{v}\mathrm{所生成的}T‐cyclic space 且 N為T‐invariant subspace$

$又\mathit{v}\mathrm{所生成的}T‐cyclic space\mathrm{為包含}\mathit{v}\mathrm{的最小}T‐invariant subspace$

$故 \mathit{v}\in N \Rightarrow W\subseteq N$

$\mathrm{而因為}\mathit{v}\in W=Span(\mathit{v},T(v),...) , 若W\subseteq N \mathrm{則很自然地有}v\in N$

$即 W\subseteq N \Rightarrow \mathit{v}\in N$

$\mathrm{因此得證} \mathit{v}\in N \iff W\subseteq N$

1. 小題(1) 說 $W$ 由哪些向量展成但最後又說它們為 linearly dependent  矛盾！何來的矛盾？寫了這麼多為何得不到分數呢？就因為沒有掌握到 key。若能善用講義 Proposition 7.5.4. 看看能否寫得更簡明且正確。
2. 小題(2) $g(x)$ 寫法有小瑕疵。
3. 小題(3) 這裡 $C(T,\mathbf{v})$ 是包含 $\mathbf{v}$ 最小的 $T$-invariant space，課堂上有提及但未完整論述。此處應先完整論述，或利用其論述方式直接證明 $W\subseteq N$。

$\mathrm{根據Proposition} 7.5.4. ,因 dim\left(W\right)=dim\left(C\right(T,\mathit{v}\left)\right)=k$

$\mathrm{有}\mathit{v},T\left(\mathit{v}\right),...,T^{k-1}\left(\mathit{v}\right)\mathrm{為}W\mathrm{的一組basis} ,\mathrm{即} \mathit{v},T\left(\mathit{v}\right),...,T^{k-1}\left(\mathit{v}\right)\mathrm{為linear} \mathrm{independent}$

$\mathrm{此時才可說明推出} \mathit{v},T\left(\mathit{v}\right),...,T^{k-1}\left(\mathit{v}\right)\mathrm{為linear} \mathrm{dependent得到矛盾}$

$\mathrm{這裡第一行的}g\left(x\right)\mathrm{應為}{a}_0+a_{1}x+ ... +a_n{x}^n$

$\mathrm{Claim}:\mathbf{ }\mathit{v}\mathrm{所生成的T}‐\mathrm{cyclic} \mathrm{space為包含}\mathit{v}\mathrm{的最小T}‐\mathrm{invariant} \mathrm{subspac}e$

$\mathrm{根據定義}\mathbf{ }\mathit{v}\mathrm{所生成的T}‐\mathrm{cyclic} \mathrm{space} C(T,\mathit{v})=\mathrm{Span}(\mathit{v},T(\mathit{v}),...)$

$\mathrm{現在假設}U\mathrm{包含}\mathit{v}\mathrm{的任意T}‐\mathrm{invariant} \mathrm{subspace}$

$\mathrm{因為}U\mathrm{為T}‐\mathrm{invariant} \mathrm{subspace} \mathrm{且}\mathit{v}\in U ,\mathrm{我們有T}\left(\mathit{v}\right)\in \mathrm{U}$

$\mathrm{同理得到}{T}^2\left(\mathit{v}\right),...,T^n\left(\mathit{v}\right),...\in U$

$\forall \mathit{w}\in C(T,\mathit{v}) , \mathit{w}=c_0\mathit{v}+c_{1}T\left(\mathit{v}\right)+... ,\mathrm{其中}{c}_0,c_1,...\in \mathbb{F}$

$\mathrm{由}T\mathrm{為linear} \mathrm{operator},\mathrm{我們有}T\left(\mathit{w}\right)=T(c_0\mathit{v}+c_{1}T(\mathit{v})+...)=c_{0}T\left(\mathit{v}\right)+c_{1}T\left(\mathit{v}\right)+...$

$\mathrm{又因}U\mathrm{為subspace且}\mathit{v},T\left(\mathit{v}\right),T^2\left(\mathit{v}\right)\in U ,\mathrm{得到}T\left(\mathit{w}\right)\in U$

$\mathrm{注意}\mathit{w}\mathrm{是任取的},\mathrm{故C}(\mathrm{T},\mathbf{v})\subseteq \mathrm{U} ,\mathrm{得證}$

注意 $C(T,\mathbf{v})$ 雖然寫成 $\mathrm{Span}(\mathbf{v},T(\mathbf{v}),\dots)$ 但並不是說 $\mathbf{w}\in C(T,\mathbf{v})$，則 $\mathbf{w}$ 可以寫成無窮多個 $T^k(\mathbf{v})$ 的線性組合（注意說過3682遍了，線性組合定義只有有限多個）。所以 $\mathbf{w}=c_0\mathbf{v}+c_1T(\mathbf{v})+\cdots$ 這樣的寫法非常不妥。這也是希望大家能先了解小題(1)的原因，就可以完整描繪 $C(T,\mathbf{v})$ 的元素了!

這裡我解的是 (3) 的 “=>”。這可以用 (1) 來描述。

$v\in N$ 告訴我們 $g(T)(v) = 0$

對於 $w\in W$，由 (1) 可取 polynomial $f$ where $\deg (f) < k$ s.t. $f(T)(v) = w$。那麼 $g(T)(w) = g(T)(f(T)(v)) = (g(T)\circ f(T))(v)$。因為這是同一個 linear operator 用 polynomial 形成的，故乘法可交換 I.e. $g(T)\circ f(T) = f(T) \circ g(T)$。故 $(g(T)\circ f(T))(v) = (f(T)\circ g(T))(v) = f(T)(g(T)(v))$，由 $g(T)(v)=0$ 得 $f(T)(g(T)(v)) = f(T)(0) = 0$ (因 $f(T)$ 為 linear operator)。故 $w \in N$。

我有點困惑，我沒用到 $\deg (f) < k$ 這個條件，也沒用到唯一性。這在 (3) 是必要的嗎？