Characteristic polynomial of \(A\)
\[
p_A(t)=\det(A-tI_3).
\]
因此
\[
A-tI_3
=
\begin{pmatrix}
2-t&0&1\\
0&1-t&2\\
0&0&1-t
\end{pmatrix}.
\]
因為 \(A-tI_3\) 是上三角矩陣，所以
\[
p_A(t)=\det(A-tI_3)=(2-t)(1-t)^2.
\]

Characteristic polynomial of \(B\)
\[
p_B(t)=\det(B-tI_3).
\]
因此
\[
B-tI_3
=
\begin{pmatrix}
1-t&-6&4\\
-2&-4-t&5\\
-2&-6&7-t
\end{pmatrix}.
\]
沿第一列展開：
\[
p_B(t)
=
(1-t)
\begin{vmatrix}
-4-t&5\\
-6&7-t
\end{vmatrix}
-(-6)
\begin{vmatrix}
-2&5\\
-2&7-t
\end{vmatrix}
+4
\begin{vmatrix}
-2&-4-t\\
-2&-6
\end{vmatrix}.
\]
先算各個 \(2\times2\) 行列式：

\[
\begin{vmatrix}
-4-t&5\\
-6&7-t
\end{vmatrix}
=
(-4-t)(7-t)-5(-6)
=
t^2-3t+2,
\]

\[
\begin{vmatrix}
-2&5\\
-2&7-t
\end{vmatrix}
=
(-2)(7-t)-5(-2)
=
2t-4,
\]

\[
\begin{vmatrix}
-2&-4-t\\
-2&-6
\end{vmatrix}
=
(-2)(-6)-(-2)(-4-t)
=
4-2t.
\]

故
\[
p_B(t)
=
(1-t)(t^2-3t+2)+6(2t-4)+4(4-2t).
\]
化簡得
\[
p_B(t)=-t^3+4t^2-t-6.
\]
再因式分解：
\[
p_B(t)=-(t^3-4t^2+t+6)=-(t-2)(t-3)(t+1).
\]
所以
\[
p_B(t)=-(t-2)(t-3)(t+1).
\]

1. characteristic polynomial 和課堂上的定義不同（雖然我也偏好這個），請說明（解釋 $\det(A-tI_n)$ 和 $\det(tI_n-A)$ 這兩個多項式的關係）。後面算 geometric multiplicity 為何又改回 $A-\lambda I_n$ 呢？兩者有何差異？

2. $A$ 的 eigenvalue 的 geometric multiplicity 怎麼算的，沒有說清楚。這裡不是要算基底，只算維度，可用 rank 解釋。

3. $B$ 的 eigenvalue 的 geometric multiplicity 怎麼算的？我們還沒論證 gm 小於或等於 am，這裡不要用。

由
\[
p_A(t)=(2-t)(1-t)^2
\]
可知 \(A\) 的 eigenvalues 為
\[
t=2,\qquad t=1.
\]

其中

\[
t=2 \quad\Rightarrow\quad \text{algebraic multiplicity}=1,
\]
\[
t=1 \quad\Rightarrow\quad \text{algebraic multiplicity}=2.
\]

下面計算 geometric multiplicity。

當 \(t=2\) 時，
\[
A-2I_3=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&-1&2\\
0&0&-1
\end{pmatrix}.
\]
此矩陣的第二列與第三列線性獨立，所以
\[
\operatorname{rank}(A-2I_3)=2.
\]
因此
\[
\dim\ker(A-2I_3)=3-2=1.
\]
故 \(t=2\) 的 geometric multiplicity 為
\[
1.
\]

當 \(t=1\) 時，
\[
A-I_3=
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&0&2\\
0&0&0
\end{pmatrix}.
\]
此矩陣有兩個非零列，且這兩列線性獨立，所以
\[
\operatorname{rank}(A-I_3)=2.
\]
因此
\[
\dim\ker(A-I_3)=3-2=1.
\]
故 \(t=1\) 的 geometric multiplicity 為
\[
1.
\]

所以 \(A\) 的結果為：
\[
t=2:\ \text{algebraic multiplicity}=1,\ \text{geometric multiplicity}=1,
\]
\[
t=1:\ \text{algebraic multiplicity}=2,\ \text{geometric multiplicity}=1.
\]

(b) Matrix \(B\)

由
\[
p_B(t)=-(t-2)(t-3)(t+1)
\]
可知 \(B\) 的 eigenvalues 為
\[
t=2,\qquad t=3,\qquad t=-1.
\]
而且每個 root 都只出現一次，所以其 algebraic multiplicity 皆為 \(1\)。

下面直接計算各 eigenvalue 的 geometric multiplicity。

當 \(t=2\) 時，
\[
B-2I_3=
\begin{pmatrix}
-1&-6&4\\
-2&-6&5\\
-2&-6&5
\end{pmatrix}.
\]
可見第二列與第三列相同，只需看前兩列。再檢查
\[
(-2,-6,5)\neq c(-1,-6,4)
\]
對任何常數 \(c\) 都不成立，所以前兩列線性獨立。故
\[
\operatorname{rank}(B-2I_3)=2.
\]
因此
\[
\dim\ker(B-2I_3)=3-2=1.
\]
所以 \(t=2\) 的 geometric multiplicity 為
\[
1.
\]

當 \(t=3\) 時，
\[
B-3I_3=
\begin{pmatrix}
-2&-6&4\\
-2&-7&5\\
-2&-6&4
\end{pmatrix}.
\]
第一列與第三列相同，只需看前兩列。又因為
\[
(-2,-7,5)\neq c(-2,-6,4)
\]
對任何常數 \(c\) 都不成立，所以前兩列線性獨立。故
\[
\operatorname{rank}(B-3I_3)=2.
\]
因此
\[
\dim\ker(B-3I_3)=3-2=1.
\]
所以 \(t=3\) 的 geometric multiplicity 為
\[
1.
\]

當 \(t=-1\) 時，
\[
B-(-1)I_3=B+I_3=
\begin{pmatrix}
2&-6&4\\
-2&-3&5\\
-2&-6&8
\end{pmatrix}.
\]
取前兩列
\[
(2,-6,4),\qquad (-2,-3,5),
\]
它們不是倍數關係，所以線性獨立。再看第三列是否為前兩列線性組合。設
\[
a(2,-6,4)+b(-2,-3,5)=(-2,-6,8).
\]
由前兩個分量得
\[
2a-2b=-2,\qquad -6a-3b=-6.
\]
解得
\[
a=\frac{1}{3},\qquad b=\frac{4}{3}.
\]
代入第三個分量：
\[
4a+5b=\frac{4}{3}+\frac{20}{3}=8,
\]
成立，所以第三列是前兩列的線性組合。故
\[
\operatorname{rank}(B+I_3)=2.
\]
因此
\[
\dim\ker(B+I_3)=3-2=1.
\]
所以 \(t=-1\) 的 geometric multiplicity 為
\[
1.
\]

綜合可得 \(B\) 的結果為：
\[
t=2:\ \text{algebraic multiplicity}=1,\ \text{geometric multiplicity}=1,
\]
\[
t=3:\ \text{algebraic multiplicity}=1,\ \text{geometric multiplicity}=1,
\]
\[
t=-1:\ \text{algebraic multiplicity}=1,\ \text{geometric multiplicity}=1.
\]

\(\det(A-tI_n)\)與\(\det(tI_n-A)\)會差一個\((-1)^n\)

首項是正的看著舒服，可是後面又換成\(\det(A-tI_n)\)是因為比較好算的關係

已經全部換成\(\det(A-tI_n)\)，不好意思

在算geometric multiplicity沒有講很清楚，已用老師所說的rank完成敘述

有問題再麻煩同學提出

一再重申！每一主題的問題與建議不是針對個人。任何人都可以回應與更正。所以規定原發表者不要刪除或更動原來的貼文，否則論壇其他參與者無法比對、了解所提建議或問題何意，也無從得知原先貼文的不完善之處。助教統計同學參與程度也就無法正確紀錄。有任何更正請保持原先面貌，另發表新文加上更正的標題。

本題只問幾何重根數能否用較簡捷的方式表達？