第一題

先求standard matrix A

T(e1)=(0,-1,0) T(e2)=(1,0,0) T(e3)=(0,0,1)

Hence A=[(0,-1,0)(1,0,0)(0,0,1)]的矩陣
找ordered basis gamma

Q=[(1,0,1)(0,1,1)(1,1,0)]的矩陣

若gamma 的基底矩陣為Q, 則[T]γ=(Q^-1)AQ

Gamma 就是由Q的column vectors 組成

Gamma={(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)}

第二題

Beta={(1,-1,1),(1,-2,2),(1,-2,1)}
組成基底矩陣

T(beta1)=T(1,-1,1)=(-1,-1,1) 表示成a(1,-1,1)+b(1,-2,2)+c(1,-2,1)=(-1,-1,1)  [T(β1​)](beta基底)=(1,0,-2)

以此類推[T(β2)](beta基底)=(0,1,-1) 

[T(β3​)]β=(0,0,1)

組成B=[(1,0,-2)(0,1,-1)(0,0,1)]的矩陣

求P使A=P(inverse)BP

P 是從 β-basis 到 standard basis 的 transition matrix

P=[β1​ β2​ β3​]

P=[(1,-1,1)(1,-2,2)(1,-2,1)]

（1）的Q寫錯了 答案應該會是 $\gamma = \{(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)\}$（注意順序）

（2）$[T]_{\beta}$
=
\begin{bmatrix}
[T(v_1)]_{\beta} &
[T(v_2)]_{\beta} &
[T(v_3)]_{\beta}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 & -5 & -5\\
2 & 4 & 3\\
0 & -1 & 0
\end{bmatrix}

再利用B與A的基底轉換知道P = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
-1 & -2 & -2\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}

真的生氣了！最基本的一題，就要考試了，還是沒人把它弄對？說過了3682遍，請不要只寫答案，按部就班地將理由寫清楚就不會弄錯了。表現矩陣請好好用課堂上介紹的表示法。拜託！拜託！

(1)
考慮 $\mathbb{R}^3$ 的 Standard basis $\epsilon = \{e_1, e_2, e_3\}$，可知 $A = [T]_\epsilon$，

由 Corollary 7.1.3，知 $[T]_\gamma = P^{-1} [T]_\epsilon P$，其中 $P = [id]_\gamma^\epsilon$，

易知所求 $Q = P = [id]_\gamma^\epsilon$，依定義 $[id]_\gamma^\epsilon$ 的 $i\text{-th column}$ 為 $\gamma$ 的 $i\text{-th vector}$ 在 $\epsilon$ 下的表示，

因 $\epsilon$ 是 standard basis，$\gamma = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$ 即為 $Q$ 的 column vector。

$\gamma = \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right)$

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(2)
$\beta = ((1, -1, 1), (1, -2, 2), (1, -2, 1))$，

$1^\circ$ 求 $[T]_\beta$，（令 $\beta = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$）

$B = [T]_\beta = \begin{bmatrix} | & | & | \\ [T(\beta_1)]_\beta & [T(\beta_2)]_\beta & [T(\beta_3)]_\beta \\ | & | & | \end{bmatrix}$

計算
$T(\beta_1) = (1, 1, 1) = a_1 \beta_1 + b_1 \beta_2 + c_1 \beta_3$，得 $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, 0)$
$T(\beta_2) = (-2, 1, 2) = a_2 \beta_1 + b_2 \beta_2 + c_2 \beta_3$，得 $(a_2, b_2, c_2) = (-5, -4, 1)$
$T(\beta_3) = (-2, 1, 1) = a_3 \beta_1 + b_3 \beta_2 + c_3 \beta_3$，得 $(a_3, b_3, c_3) = (-5, 3, 0)$

得 $B = \begin{bmatrix} 3 & -5 & -5 \\ 2 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$2^\circ$ 依定義，$A = P^{-1} B P$，其中 $A = [T]_\epsilon$，$B = [T]_\beta$，$P = [id]_\beta^\epsilon$，

因此只要求出 $[id]_\epsilon^\beta = P$，其中 $P$ 的 $i\text{-th column}$ 即 standard basis $\epsilon$ 的 $i\text{-th vector}$ ($e_i$) 在 $\beta$ 下的表示。

即：$[id]_\epsilon^\beta = P = \begin{bmatrix} | & | & | \\ [e_1]_\beta & [e_2]_\beta & [e_3]_\beta \\ | & | & | \end{bmatrix}$

解 $\begin{cases} (1, 0, 0) = p_1 \beta_1 + q_1 \beta_2 + r_1 \beta_3， & (p_1, q_1, r_1) = (2, -1, 0) \\ (0, 1, 0) = p_2 \beta_1 + q_2 \beta_2 + r_2 \beta_3， & (p_2, q_2, r_2) = (1, 0, -1) \\ (0, 0, 1) = p_3 \beta_1 + q_3 \beta_2 + r_3 \beta_3， & (p_3, q_3, r_3) = (0, -1, 1) \end{cases}$

得 $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

(2) 根據定義 $T(x, y, z) = (y, -x, z)$

$T(\beta_1) $=$T(1,-1,1)$=$(-1, -1, 1)$，依前一則貼文同做法解聯立方程：

$(-1, -1, 1)$ =$ a_1 \beta_1 $+ $b_1 \beta_2 + c_1 \beta_3$, 得$ (a_1, b_1, c_1) = (-3, 2, 0) $，同理得：

$T(\beta_2) = (-2, -1, 2)$ = $a_2 \beta_1 $+$ b_2 \beta_2 + c_2 \beta_3$, $ (a_2, b_2, c_2) = (-5, 4, -1) $

$T(\beta_3) = (-2, -1, 1) $= $a_3 \beta_1$ + $b_3 \beta_2 + c_3 \beta_3$, $ (a_3, b_3, c_3) = (-5, 3, 0)$

$B = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

對他人貼文提出建議或更正，請具體明確寫下建議為何，或其錯誤之處。老師或助教因希望大家參與討論，對錯誤之處都僅提示；而同學發現錯誤請具體說明你認為錯誤之處，計算過程也寫清楚，以利大家辨識何是何非！

$\beta = ((1, -1, 1), (1, -2, 2), (1, -2, 1))$，

$1^\circ$ 求 $[T]_\beta$，（令 $\beta = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$）

$B = [T]_\beta = \begin{bmatrix} | & | & | \\ [T(\beta_1)]_\beta & [T(\beta_2)]_\beta & [T(\beta_3)]_\beta \\ | & | & | \end{bmatrix}$

計算 $T(\beta_1) = (-1, -1, 1)$，$T(\beta_2) = (-2, -1, 2)$，$T(\beta_3) = (-2, -1, 1)$。
考慮 $[\beta_1\ \beta_2\ \beta_3 \mid T(\beta_1)\ T(\beta_2)\ T(\beta_3)]$，對整個矩陣做 elementary row operations，將左半部分化成單位方陣：

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & -1 & -2 & -2 \\ -1 & -2 & -2 & | & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \sim \dots \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -3 & -5 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

得 $B = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

$2^\circ$ 依定義，$A = P^{-1} B P$，其中 $A = [T]_\epsilon$，$B = [T]_\beta$，$P = [id]_\epsilon^\beta$，

因此只要求出 $[id]_\epsilon^\beta = P$，其中 $P$ 的 $i\text{-th column}$ 即 standard basis $\epsilon$ 的 $i\text{-th vector}$ ($e_i$) 在 $\beta$ 下的表示。

即：$[id]_\epsilon^\beta = P = \begin{bmatrix} | & | & | \\ [e_1]_\beta & [e_2]_\beta & [e_3]_\beta \\ | & | & | \end{bmatrix}$

考慮 $[\beta_1\ \beta_2\ \beta_3 \mid e_1\ e_2\ e_3]$，將左邊部分利用 elementary row operations 化成單位方陣：

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \sim \dots \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

得 $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

(手算過一次應該是沒有計算錯的部分了...)