(1) 反例：令  
\[
\mathbf{u}_1 = (1, 0, 0),\quad \mathbf{u}_2 = (-1, 0, 0) \in \mathbb{R}^3
\]  
則  
\[
\begin{aligned}
T_1(\mathbf{u}_1) &= (1, 0, 0) \\
T_1(\mathbf{u}_2) &= (1, 0, 0) \\
T_1(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2) &= T_1((0, 0, 0)) = (0, 0, 0)
\end{aligned}
\]  
此時，\(T_1(\mathbf{u}_1) + T_1(\mathbf{u}_2) \neq T_1(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2)\)  

∴ \(T_1\) 不是 linear transformation.

(2) 給定 \(B \in M_n\)，任取 \(A, A' \in M_n,\ r \in \mathbb{R}\)  
\[
\begin{aligned}
T_2(A + rA') &= (A + rA')B^2 + B(A + rA') \\
&= AB^2 + rA'B^2 + BA + rBA' \\
&= (AB^2 + BA) + r(A'B^2 + BA') \\
&= T_2(A) + rT_2(A')
\end{aligned}
\]  

∴ \(T_2\) 是 linear transformation.

(3) 給定 \(B \in M_n\)，令 \(A = A' = I_n \in M_n\)  
\[
T_3(A) = T_3(A') = T_3(I_n) = I_n B + B I_n^2 = 2B
\]  
而
\[
T_3(A + A') = T_3(2I_n) = (2I_n)B + B(2I_n)^2 = 2B + 4B = 6B
\]  
若 \(B \neq 0\)，則 \(T_3(A) + T_3(A') \neq T_3(A + A')\)  

∴ \(T_3\) 不是 linear transformation.

(4) 任取  
\[
f_1(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0,\quad 
f_2(x) = b_n x^n + \dots + b_1 x + b_0 \in P_n
\]  
其中 \(a_i, b_i \in \mathbb{R},\ \forall i=0, 1, \dots, n,\ r \in \mathbb{R}\)  

令  
\[
f_3(x) = f_1(x) + r f_2(x) = (a_n + r b_n)x^n + \dots + (a_0 + r b_0)
\]  
則  
\[
\begin{aligned}
T_4(f_1(x)) &= f_1(0) + x f_1(x) + x^2 f_1'(x) \\
&= a_0 + x \left[ a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 \right] + x^2 \left[ n a_n x^{n-1} + \dots + a_1 \right]
\end{aligned}
\]  
同理，  
\[
T_4(f_2(x)) = b_0 + x \left[ b_n x^n + \dots + b_1 x + b_0 \right] + x^2 \left[ n b_n x^{n-1} + \dots + b_1 \right]
\]  
而  
\[
\begin{aligned}
T_4(f_3(x)) &= f_3(0) + x f_3(x) + x^2 f_3'(x) \\
&= (a_0 + r b_0) + x \left[ (a_n + r b_n)x^n + \dots + (a_0 + r b_0) \right] \\
&\quad + x^2 \left[ n(a_n + r b_n)x^{n-1} + \dots + (a_1 + r b_1) \right] \\[4pt]
&= a_0 + x \left[ a_n x^n + \dots + a_0 \right] + x^2 \left[ n a_n x^{n-1} + \dots + a_1 \right] \\
&\quad + r b_0 + x \left[ r b_n x^n + \dots + r b_0 \right] + x^2 \left[ r n b_n x^{n-1} + \dots + r b_1 \right] \\[4pt]
&= a_0 + x \left[ a_n x^n + \dots + a_0 \right] + x^2 \left[ n a_n x^{n-1} + \dots + a_1 \right] \\
&\quad + r \left( b_0 + x \left[ b_n x^n + \dots + b_0 \right] + x^2 \left[ n b_n x^{n-1} + \dots + b_1 \right] \right) \\[4pt]
&= T_4(f_1(x)) + r T_4(f_2(x))
\end{aligned}
\]  

∴ \(T_4\) is linear transformation.

請問 $T_4$ 真的會把 $P_n$ 送到 $P_{n+1}$ 嗎？有沒有可能有次數超過的問題？

換句話說，$T_4$ 是函數嗎？

To 晴月夢：

A 假設 \(f(x)\) 為 \(k\) 次多項式，其中 \(1 \leq k,\ k \in \mathbb{N}\)，即 \(\deg[f(x)]=k\)，則我們有以下 3 點 ：

1. 因為 \(f(0)\) 為常數，得到 \(\deg[f(0)]=0\) 或 \(f(0)=0\)
2. \(\deg[xf(x)]=\deg[x]+\deg[f(x)]=k+1\)
3. \(\deg[x^2f^{\prime}(x)]=\deg[x^2]+\deg[f^{\prime}(x)]=2+k-1=k+1\)

由以上 3 點可知 \(\deg[T_4(f(x))]=\deg[f(0)+xf(x)+x^2f^{\prime}(x)]=k+1\)

B 假設 \(f(x)\) 為 \(0\) 次多項式，即 \(f(x)=a\) ，其中 \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)，則我們有：

\(\begin{align*}\deg[T_4(f(x))]&=\deg[f(0)+xf(x)+x^2f^{\prime}(x)]\\ &=\deg[a+ax+0]\\ &=1\end{align*}\)

C 假設 \(f(x)\) 為零多項式，則我們有 \(T_4(f(x))=f(0)+xf(x)+x^2f^{\prime}(x)=0\) 也為零多項式

若 \(n \geq 1\)，因為 \(P_n\) 裡的多項式 \(f(x)\) 只能分為 A, B, C 三種情況，所以 \(T_4(f(x))\) 的次數至多為 \(k+1 \leq n+2\)，故 \(T_4(f(x)) \in P_{n+1}\)；

若 \(n=0\)，因為 \(P_n\) 裡的多項式 \(f(x)\) 只能分為 B, C 二種情況，所以 \(T_4(f(x))\) 的次數至多為 \(1 \leq 2=n+2\)，故 \(T_4(f(x)) \in P_{n+1}\)

綜上所述，\(T_4:\ P_n \to P_{n+1}\) 是函數