(1) i. 利用 \(a,b\) 表達 \(T(L)\)

令 \((x',y')=T(L),\ (x',y') \in \mathbb{R}^2\)，則 \((x',y')=(x+y,x-y)\)

解出 \(x=\frac{x'+y'}{2},\ y=\frac{x'-y'}{2}\) 

將它代回 \(ax+by=0\) 得到 \(a \left(\frac{x'+y'}{2} \right)+b \left(\frac{x'-y'}{2} \right)=0\)

化簡後得到 \((a+b)x'+(a-b)y'=0\)，因此 \[T(L)=\left\{ (x,y)\ |\ (a+b)x+(a-b)y=0 \right\}\]

故 \(T(L)\) 也是一條通過原點的直線。

(1) ii. 利用 \(a,b\) 表達 \(T^{-1}(L)\)

令 \((x,y) \in T^{-1}(L)\)，則 \(T(x,y)=(x+y,x-y) \in L\)，即：\(a(x+y)+b(x-y)=0\)

化簡後得到\((a+b)x+(a-b)y=0\)，因此 \[T^{-1}(L)=\left\{ (x,y)\ |\ (a+b)x+(a-b)y=0 \right\}\]

故 \(T^{-1}(L)\) 也是一條通過原點的直線。

(2) i. 利用 \(a,b\) 表達 \(T(L)\)

令 \((x',y')=T(L),\ (x',y') \in \mathbb{R}^2\)，則 \((x',y')=(x+y,x+y)\)

Case 1: \(a \neq b\)

此時由 \((x',y')=(x+y,x+y)\) 得到 \(x'-y'=0\)

因此 \(T(L)=\left\{ (x,y)\ |\ x-y=0 \right\}\)

Case 2: \(a = b\)

此時 \(ax+by=0\) 變為 \( ax+ay=0\) ，所以 \(x+y=0\)

故 \((x',y')=(x+y,x+y)=(0,0)\)

因此 \(T(L)=\left \{ (0,0) \right \}\)

總結：

\[T(L)=
\begin{cases}
\left\{ (x,y)\ |\ x-y=0 \right\} & \rm{if}\ a \neq b\\
\left \{ (0,0) \right \} & \rm{if}\ a = b
\end{cases}\]

\(T(L)\) 在 \(a \neq b\) 時為一條通過原點的直線，而在 \(a = b\) 時為原點。

(2) ii. 利用 \(a,b\) 表達 \(T^{-1}(L)\)

令 \((x,y) \in T^{-1}(L)\)，則 \(T(x,y)=(x+y,x+y) \in L\)，即：\(a(x+y)+b(x+y)=0\)

因式分解後得到 \((a+b)(x+y)=0\)

Case 1: \(a+b \neq 0\)

此時可以從 \((a+b)(x+y)=0\) 的等號兩邊同除以 \(a+b\)，得到 \(x+y=0\)

因此 \(T^{-1}(L)=\left\{ (x,y)\ |\ x+y=0 \right\}\)

Case 2: \(a+b=0\)

此時 \((a+b)(x+y)=0\) 恆成立，即：對任何 \((x,y) \in \mathbb{R}^2\)，都有 \((x,y) \in T^{-1}(L)\)

因此 \(T(L)=\mathbb{R}^2\)

總結：

\[T(L)=
\begin{cases}
\left\{ (x,y)\ |\ x+y=0 \right\} & \rm{if}\ a+b \neq 0\\
\mathbb{R}^2 & \rm{if}\ a+b=0
\end{cases}\]

\(T(L)\) 在 \(a+b \neq 0\) 時為一條通過原點的直線，而在 \(a+b=0\) 時為整個平面。

你的結論只說明這些是子空間，那這些空間是什麼？

尤其，(1) 跟 (2) 的核心差異，在於 $T$ 的 representation matrix 是否可逆。

那麼，現在我們知道可逆與否不影響其 image、preimage 會不會是子空間，那這些子空間的關係為何？