@包子入侵 第 2 部分的論述，在 $a = 0$ 時不會成立，而且我們需要處理的是一般階數的矩陣，此解法並未提供一般矩陣的上三角形式，你需要對兩個區域的 row 進行排列。
     實際上，雖然我們確實有可能用 type $1$ 和 type $3$ 的操作，將矩陣的左上角和右下角化成上三角，論證 determinant 與右上角無關，並由獨立的性質得到結果，但何必呢？降階的語言就能描述這種過程。

     接下來，我們用 $D = [d_{ij}]$ 來表達 $M$，不然 $M$ 的 entry 寫起來會很奇怪，有跟正整數 $m$ 混淆的可能。

     我們對 $n$ 做歸納。

     當 $n = 1$ 時，$B$ 為 $1$ 階方陣，只有一個 entry，此時最後一個 row i.e. $(m+1)$-th row，只有一個可能的非零 entry $b_{11}$ i.e. $\det (D) = b_{11} det (D_{(m+1)(m+1)})$。根據定義，最後一個 row 恰好由 $O$ 和 $B$ 組成，且最後一個 column 恰好由 $C$ 和 $B$ 組成，因此 $D_{(m+1)(m+1)} = A$，又此時 $\det (B) = b_{11}$，我們有 $\det (D) = b_{11} \det (D_{(m+1)(m+1)}) = \det (B) \det (A) = \det (A) \det (B)$，敘述成立。

    若敘述在 $n = k$ 時成立，我們對 $D$ 的最後一個 row i.e. $(m + k + 1)$-th row 展開：\[
\det (D) = \sum\limits_{j = 1}^{m+k+1} d_{(m+k+1)j} (-1)^{m+k+1+j} \det (D_{(m+k+1)j})
\]
    其中，$d_{(m + k + 1)j} = 0$ for $j ≤ m$ 且 $d_{(m + k + 1)j} = b_{(k + 1)(j - m)}$ for $m+1 ≤ j ≤ m + k+1$。同時，對於 $m+1 ≤ j ≤ m + k+1$，注意到 $\det (D_{(m+k+1)j}) = \det \begin{bmatrix}A&C_{j-m}\\O&B_{(k+1)(j - m)}\end{bmatrix}$，其中 $C_{j-m}$ 為 $C$ 去掉其第 $(j-m)$ 個 column 後所得到的矩陣；且 $\begin{bmatrix}A&C_{j-m}\\O&B_{(k+1)(j - m)}\end{bmatrix}$ 為 $m+k$ 階方陣，也屬於歸納假設的作用對象。故 \[\begin{aligned}
&\sum\limits_{j = 1}^{m+k+1} d_{(m+k+1)j} (-1)^{m+k+1+j} \det (D_{(m+k+1)j}) \\
=& \sum\limits_{j = m+1}^{m+k+1} d_{(m+k+1)j} (-1)^{m+k+1+j} \det (D_{(m+k+1)j}) \\
=& \sum\limits_{j = m+1}^{m+k+1} b_{(k+1)(j-m)} (-1)^{m+k+1+(j-m)+m} \det (\begin{bmatrix}A&C_{j-m}\\O&B_{(k+1)(j - m)}\end{bmatrix}) \\
=& \sum\limits_{j = 1}^{k+1} b_{(k+1)j} (-1)^{m+k+1+j+m} \det (\begin{bmatrix}A&C_j\\O&B_{(k+1)j}\end{bmatrix}) \\
=& \sum\limits_{j = 1}^{k+1} b_{(k+1)j} (-1)^{m+k+1+j+m} \det (A) \det (B_{(k+1)j}) & \text{by induction hypothesis} \\
=& \det (A) \sum\limits_{j = 1}^{k+1} b_{(k+1)j} ((-1)^2)^m (-1)^{(k + 1) + j} \det (B_{(k+1)j}) \\
=& \det (A) \sum\limits_{j = 1}^{k+1} b_{(k+1)j} (-1)^{(k + 1) + j} \det (B_{(k+1)j}) \\
=& \det (A) \det (B) \\
\end{aligned}\]
   這樣我們就證明了，$n = k + 1$ 時敘述也成立。

   根據歸納法，證畢。

令$ M $=$\begin{bmatrix}A&C\\O&B\\\end{bmatrix}$ 為 $ m+n $ 階方陣，其中 $ A $ 為$ n $ 階方陣，$ B $ 為 $ m $ 階方陣。

顯然，我們可以用 type1與 type3 EROs 找到 $ A $與 $ B $ 的 echelon form $ A' $ 與 $ B' $，並寫成 $A'=E_{a}A$ 與 $B'=E_{b}B$ 的形式，其中$E_{a}$ 與 $E_{b}$ 為數個 elementary matrix 的乘積。

考慮等式 $\begin{bmatrix}A'&E_{a}C\\O&B'\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\O&B'\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_{m}&O\\O&E_{b}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\O&B\\\end{bmatrix}$

(i) 令 $a_{11},...,a_{mm}$ 與 $b_{11},...,b_{nn}$ 分別為 $A'$ 與 $B'$ 的 diagonal entries，由 Proposition 5.2.9 可知 $det\begin{bmatrix}A'&E_{a}C\\O&B'\\\end{bmatrix}=a_{11}\cdot ...\cdot a_{mm}\cdot b_{11}\cdot ...\cdot b_{nn}=det(A')det(B')$

(ii) 注意到在計算 $det\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}$ 時，可持續對大於 $m$ 的 row 做降階處理，故得 $det\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}=det(E_{a})$。同理 $det\begin{bmatrix}I_{m}&O\\O&E_{b}\\\end{bmatrix}=det(E_{b})$

因此

$det\begin{bmatrix}A'&E_{a}C\\O&B'\\\end{bmatrix}=det(\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_{m}&O\\O&E_{b}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\O&B\\\end{bmatrix})$

$\to$ $det(E_{a})det(A)det(E_{b})det(B)=det(E_{a})det(E_{b})det(M)$

$\to$ $det(A)det(B)=det(M)$

故得證。

$$

$$...a_{mm}t

包子入侵 可以再思考看看第二題有沒有可以用來說明一般化的情形

晴月夢 你的論述過程沒錯，但閱讀的人太吃力了，會沒辦法想像矩陣的樣子。可以試著把它修正，讓閱讀的人能比較簡單的讀懂你想表達的意思

(你可以試著把你寫的證明拿給你的朋友們看，如果你的朋友們能在不詢問你的情況下完整看完全部證明，基本上你的證明就會好看很多)

tsai0314 在你的證明中用到了 $\left[\begin{array}{cc}A\text{'}& E_{a}C\\ O& B\text{'}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{E}_a& O\\ O& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\text{'}\end{array}\right]$，但這四個分別是不同大小的矩陣（並非實數），此時真的能這樣乘嗎？還是是因為這些矩陣有符合哪些條件才可以這樣乘呢？

對於 $\begin{bmatrix}A'&E_{a}C\\O&B'\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\O&B'\\\end{bmatrix}$ 是否成立的問題 ，由於 EROs 不會影響到其他 rows，我們可以先將 $\begin{bmatrix}A'&E_{a}C\\O&B'\\\end{bmatrix}$ 的上半部分看成 augmented matrix $\begin{bmatrix}A'&E_{a}C\end{bmatrix}=E_{a}\begin{bmatrix}A&C\end{bmatrix}$，由此我們可知 $E_{a}$ 對$\begin{bmatrix}A&C\end{bmatrix}$ 的 $1\sim m $ row 做了一系列的 EROs，因此我們可以找到矩陣使得其對 $\begin{bmatrix}A&C\\O&B'\\\end{bmatrix}$ 的 $1\sim m$ row 做相同的 EROs。

要找到這個矩陣，首先我們可以將 $I_{m+n}$ 看成 $\begin{bmatrix}I_{m} &O \\ O&I_{n}\end{bmatrix}$，同樣地，我們將上半部分看成 augmented matrix $\begin{bmatrix}I_{m}&O\end{bmatrix}$，在對其做同樣的 EROs，即 $E_{a}\begin{bmatrix}I_{m}&O\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_{a}&O\end{bmatrix}$。因此我們便找到了矩陣 $\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}$ 滿足 $\begin{bmatrix}A'&E_{a}C\\O&B'\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_{a}&O\\O&I_{n}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\O&B'\\\end{bmatrix}$

寫的有點草

有漏洞的話考完試會修的嚴謹一點