雖然對於 6 階單位矩陣（特定的矩陣），$det (2I_6) = 2^6 det(I_6)$ 這個結果是注意的到的，但我們目前並沒有講到對於一般的 $n$ 階方陣 $A$ 和實數 $c$，$det (cA) = c^n det (A)$，在一般情況不好描述，特地做補充。

      我們考慮 $n$ 階方陣 $A$。對於 $cA$，我們看成是進行一個過程的結果，依序將該矩陣的每個 row 都乘上 $c$，每乘一次（視作走一步）得到新的矩陣。如果我們證明這個過程的結果的 determinant 為 $c^n det (A)$，相當於證明了 $det (cA) = c^n det (A)$。

      初始的矩陣的 determinant 為 $det (A)$。

      同時，這個過程每進行一步，根據 multi-linear 的性質，其結果的 determinant，是上一步的 determinant 左乘 c。

      故由歸納法，此過程的結果的 determinant，為 $det (A)$ 左乘 $c$「過程的步數次」。而這個過程的步數，根據定義，是矩陣 $A$ 的階數 $n$，我們得知此過程的結果的 determinant 為 $det (A)$ 左乘 $c$ 「$n$ 次」 i.e. $c ^ n det (A)$。

      我省略了「過程的結果就是 $cA$」的相關論述，因為我覺得這相當瑣碎，而且相較於這個單元，不那麼重要，否則我認為先論證 $det (cI_n) = c^n$ 其實會比較方便。

      另外，最後由 $det (A)^3 = 2^6 = 4^3$ 得到 $det (A) = 4$ 的結論這步，我認為應該要補上「$3$ 為奇數」這個前提，不然解不是唯一的。

張翔誠實名討論 解題過程ok

也很感謝 晴月夢 的補充，內容很詳細

論壇的用意並不是繳交作業，希望發表儘量清晰嚴謹。依照我們的規範：若作業用到課堂尚未談論的結果，就應論述說明。

晴月夢 注意到課堂上並未提及當 $A$ 為 $n$ 階方陣時，$\det(cA)=c^n\det(A)$ 這個性質而加以說明，很好！不過建議論述時儘量簡明。另一方面，在數學上“歸納法”一般就意指“數學歸納法”，這裡並未用到數學歸納法，應小心。

晴月夢 也注意到嚴密性問題，這個問題需用到 $x^3=2^6$ 僅有唯一實數解。這也是希望大家能注意學習的。不過這是本題的瑕疵，雖然我們都強調只談論實矩陣，不過題目上強調 $A$ 是實矩陣會比較好。事實上我們這學期也會談論到複數矩陣，若 $A$ 為複數矩陣，本題答案就不唯一了！

最後關於 LaTeX 還是希望大家多練習使用。在數學上書寫上表達一般數字或函數等都會用斜體字如 $a,\,f(x),\,V$ 等。但專有特殊函數等，為了區別避免混淆就會用正體如 $\sin x,\dim V$ 等。這些函數只要在數學式中加上斜槓 “\” 即可。行列式也是專有符號，所以不要在數學式中直接打 det；而是 \det。