Basis 基本上是一個集合，絕不能用矩陣表示；否則如何知道是要看行向量還是列向量呢？完全看不出 mantou._.0702 列出的 $\mbox{Row}(A)$ 的 basis 是哪些？

(2)為何寫出另一個 $A$ 呢？ echelon form 和原矩陣相等？另外請說明找出 basis 的原因。如前所述  mantou._.0702 在(2)所列的 basis 是正確的嗎？（未說明原因，就會連自己都不知對錯）。

(3) 僅列出 $N(A)$ 和 $\mbox{Row}(A)$ 的基底互相垂直就可確認 $N(A)=\mbox{Row}(A)^\perp$ 嗎？（注意：此處是要利用具體例子論證 $N(A)=\mbox{Row}(A)^\perp$ 這個事實，不能直接套用)。 

(1)

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1& 2& 0\\ -1& 0&-1&-1\\ 3& 2& 5& 1\\ -1&-1&-1&0 \end{bmatrix}$由上述過程可得出$A$的echelon form $A'=\begin{bmatrix} 1 & 1& 2& 0\\ 0& 1&1&-1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$，根據Dimension定理，$A \in M_{4 \times 4}$，而$rank(A)=3$，故$nullity(A)=4-3=1$。

考慮方程組$A' \mathbf{x} = \mathbf{0}$，可解得$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -t \\ t \\ 0 \\ t \end{bmatrix}$，$t \in \mathbb{R}$，取$t=1$，令其為$\mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，會是$N(A)$的一組basis。

(2)

$A$的echelon form $A'$如(1)過程，$A^t=\begin{bmatrix} 1 & -1& 3& -1\\ 1& 0&2&-1\\ 2& -1& 5& -1\\ 0&-1& 1&0 \end{bmatrix}$由上述過程可得出$A^t$的echelon form $(A^t)'=\begin{bmatrix} 1 & -1& 3& -1\\ 0& 1&-1&0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$。

而根據定理可以知道，$A'$的前3個row vector會是$Row(A)$的一組basis，得$B_1 = \{ ( 1, 1, 2, 0 ), ( 0, 1, 1, -1 ), ( 0, 0, 1, 0 ) \}$會是$Row(A)$的一組basis。

根據定理也可以知道，$(A^t)'$的pivot variable: $x_1, x_2, x_4$，故$(A^t)'$的第1、2、4的column vector會是$Col(A^t)$的一組basis，得$(B_2)^t = \{ ( 1, 1, 2, 0 )^t, ( -1, 0, -1, -1 )^t, ( -1, -1, -1, 0 )^t \}$，又有$Row(A) = Col(A^t)$，得$B_2 = \{ ( 1, 1, 2, 0 ), ( -1, 0, -1, -1 ), ( -1, -1, -1, 0 ) \}$會是$Row(A)$的一組basis（將向量取轉置）。

(3)

$N(A)$的basis$\{\mathbf{v_1}\}$與$B_1$的basis $\{ \mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, \mathbf{r_3} \} = \{ ( 1, 1, 2, 0 ), ( 0, 1, 1, -1 ), ( 0, 0, 1, 0 ) \}$，其中$\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{r_1} = 0, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{r_2} = 0, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{r_3} = 0$，由於$\mathbf{v_1}$與$Row(A)$的spanning set內積都是0，且$Row(A)$的向量$\mathbf{r}$都是$B_1$的線性組合，即$\mathbf{r} = c_1\mathbf{r_1} + c_2\mathbf{r_2} + c_3\mathbf{r_3}$，（當然$B_2$也會一樣的結果），則$\mathbf{r} \cdot \mathbf{v_1} = ( c_1\mathbf{r_1} + c_2\mathbf{r_2} + c_3\mathbf{r_3} ) \cdot \mathbf{v_1} = c_1( \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{r_1} ) + c_2( \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{r_2} ) + c_3( \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{r_3} ) = 0$，故$N(A)$中的所有向量都與$Row(A)$所有向量正交，才有$N(A) = Row(A)^{\perp}$的結果。

• 關於底線部分，想確認這樣說明是否合理
• 若說法有誤，或是觀念有需要修正的地方，再予以指正，謝謝

(2) 應該是筆誤，看 Column 時是看 $A^t$，不是 $(A^t)'$

(3) 在講 $\mathbf{v}_1$ 與整個 Row($A$) 中的元素都垂直這件事沒有很清楚，可以改成說：

給定任意 $\mathbf{w}\in$ Row($A$)，則存在 $c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}$ 使得 $\mathbf{w}=c_1\mathbf{r}_1+c_2\mathbf{r}_2+c_3\mathbf{r}_3$，再去討論 $\mathbf{v}_1$ 跟 $\mathbf{w}$ 的內積，會更加清楚。