(1) subspace要記得證明非空

(3) 你完全沒說到題目要求的內容，而且 $\mathbf{w}\in W$ 後為何又推出 $\mathbf{w}\in W^{\perp}$??

然後目前你的證明會讓人有點看不太懂你想表達什麼，有些過程跳的太突然了，給你一些小方法會讓證明比較好看

1. 善用 Claim，讓讀者一開始就能明確知道你目前想要做什麼
2. 善用 that is，因為你證明的內容都不是原本題目的說法(當然是等價敘述沒錯)，但對於讀者來說要再轉一次是相對吃力的
3. 善用連接詞（Since, then, therefore），會讓你證明的語句更加通順
4. 多一些敘述的語句，你目前普遍都是用數學內容來書寫，但缺乏文字敘述，會讓讀者有跳很快，導致看不懂的感覺
5. 在證明最後，可以加一句題目的敘述，不然看到後面，會有一種你正明還沒寫完的錯覺

內容僅有添加。添加的部分以藍字表示。

首先注意：集合包含關係和說明在 $S^\perp$ 是有層次的，請避免都用 let，會讓人不懂哪個是固定的，最後又是要論證哪個包含關係。

例如(2) $\mathrm{Span}(S)^\perp\subseteq S^\perp$ 建議一開始是 given $\mathbf{v}\in \mathrm{Span}(S)^\perp$，接著是 $\forall\,\mathbf{w}\in S$ 讓人了解是給定 $\mathbf{v}$ 然後 $\mathbf{w}$ 是變動的，這樣最後這給定的 $\mathbf{v}$ （和最開始是同一個 $\mathbf{v}$） 會在 $ S^\perp$，才能確認包含關係。

前面的例子若先證明了(4)就能省掉一些論述。(5)(6)也可省掉部分用元素證明包含關係的論述，看看誰能補上。 

首先，(2) “$\supseteq$” 可以直接用 (4) 和 span 的定義 (?) 解決：

Start with \[S\subseteq \text{span}(S)\]

Then by (4), we can get the following conclusion directly: \[\text{span}(S)^{\perp}\subseteq S^{\perp}. \blacksquare\]

同時，(5) “$\subseteq$” 也可以用 (4) 和集合運算的性質解決：

Start with \[\begin{aligned}&S_1\subseteq S_1\cup S_2\\&S_2\subseteq S_1\cup S_2\end{aligned}\]

Then by (4), \[\begin{aligned}&(S_1\cup S_2)^{\perp}\subseteq S_1^{\perp}\\&(S_1\cup S_2)^{\perp}\subseteq S_2^{\perp}\end{aligned}\]

and therefore \[(S_1\cup S_2)^{\perp} \subseteq S_1^{\perp} \cap  S_2^{\perp}.\blacksquare\]

最後是 (6) 的 $\subseteq$ 的部分：

Start with \[\begin{aligned}&S_1\cap S_2\subseteq S_1\\&S_1\cap S_2\subseteq S_2\end{aligned}\]

Then by (4), \[\begin{aligned}&S_1^{\perp}\subseteq(S_1\cap S_2)^{\perp}\\&S_2^{\perp}\subseteq(S_1\cup S_2)^{\perp}\end{aligned}\]

Therefore, since $S_1^{\perp}$ and $S_2^{\perp}$ are subspaces of V by (1), and $S_1^{\perp} + S_2^{\perp}$ is the smallest subspace that contains them, we have \[S_1^{\perp} + S_2^{\perp} \subseteq (S_1\cap S_2)^{\perp}.\blacksquare\]

關於先前表達上的問題，有時間我再補上優化版本。感謝指導。