包子入侵 $W_1+W_2+\cdots+W_n$ 定義有誤，是否有人能指正？最小的subspace 也完全沒有論證（注意：證明不是寫下"對的事"）。

有誰能說好它？
 

有點講太多廢話了

考完期中會整理一下

一塊土 的想法很有創意。利用數學歸納法給出定義並用已論證過 $n=2$ 的情形在(ii)(a)輕鬆地證明了 $W_1+\cdots+W_{k+1}$ 是包含 $W_1,\dots,W_{k+1}$ 的 subspace。這裡建議補上由 $n=2$ 成立得知，另外此處不需用到"最小" （後面 (ii)(b)才要用到）可將此二字刪除。接著(ii)(b)要證明最小，就出問題了（與"聯集"搞混了）。請同學（或 一塊土 本人）幫忙揪錯。最後因為手寫"大小寫"要注意：元素和集合容易混淆。建議元素都用向量表示。

包子入侵 自行找出定義寫法錯誤之處，很好！封閉性的驗證，請避免沒有必要的足碼符號：$\mathbf{w}_{a_i}$ 容易讓人誤解有排列問題，可考慮用 $\mathbf{w}_i, \mathbf{w}'_i$ 即可。證明最小的部分，用集合方式的證明是無效的：直接說 $W_1\subseteq U,\cdots,W_n\subseteq U$ 得到 $W_1＋\cdots＋W_n\subseteq U$ 有何用？這就是原本希望證明的啊！我猜測 包子入侵 和 一塊土 一樣都把向量空間的 sum 和 union 搞混了。在集合的情況確實可由 $W_1\subseteq U,\cdots,W_n\subseteq U$ 得到 $W_1\cup\cdots\cup W_n\subseteq U$，但這和向量空間的 sum 是兩回事。請  包子入侵 將這個無效論證刪除。在此也請大家注意，此處"最小"我們僅能用元素來論證；但論證完了這"最小"的性質後，以後就可以不必用元素直接用集合（其實是子空間）處理有關於子空間的包含關係。

(b)改成用反證法

其他就是修細節而已

有問題歡迎提出

我想所有包含W_i的wubspce交集也是subspace而且應該是最小的subspce，所以我試著從這個角度構造。我不確定是不是對的還請各位幫我確認一下。

這個只證明了W包含於Vn,還要再證Vn包含於W,才能説Vn=W

我上面有寫V_n是W的子集了，請你再看一下

那我沒問題了，整體應該是對的。

但建議補上「因為小w_k屬於大W_k，又每個大W_k都在大W裡面。由大W是向量空間得到小w_k的線性組合會在大W裡面。」不然跳得有點快。

我剛才重寫那部分證明了，你再幫我看看哪裡能修改，謝謝

V_n⊆W的部分沒問題了，但

還需說明W_1,W_2,...,W_n⊆V_n才對

(定義完V_n後要說明為什麼定義出來的V_n會滿足W_1,W_2,...,W_n⊆V_n)

這是較進階的數學歸納法論述：一個歸納假設同時證明 (a) $W_1+\cdots+W_n$ 是包含 $W_1,\dots,W_n$ 的 vector space 以及 (b) 是所有包含 $W_1,\dots,W_n$ 的 vector space 中最小的 vector space。要學好這種論述就要精準的了解其真義，而不是意思到了就好。希望  一塊土 針對我說的缺失，精準的寫下一個完美的論述。對於其他想好好學習數學歸納法論述的同學，若能清楚理解這個論述的真義，那很棒！若無法理解，也歡迎針對不清楚的地方提出討論。

為了讓同學清楚論述請 一塊土 在(i) $n=2$ 以及 (ii) $n=k$ 的歸納假設也分成(a),(b)敘述。改良的(ii)(a)目前寫得很清楚；但是(b)為何改成反證法呢？你已經將 $\mathbf{v}\in S_{k+1}$ 寫成 $\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w}_{k+1}$，然後證明了 $\mathbf{v}\in X$ 了！為何畫蛇添足，用反證法呢？

我們不只要學會對的事，也需要知道錯的是什麼！最後還是請同學（或是 一塊土）說明一下 一塊土 最原始的論述(ii)(b)錯在哪裡。 

請注意 NOTATION ！一看到一開始的符號使用，就令人滿頭霧水（我說過老師很笨都故意看不懂你們寫的東西； 一塊土 就看得懂真是令人佩服）。這裡的 $\alpha\in A$ 的 $A$ 是什麼？若 $A=\{1,\dots,n\}$ 所定義的 $W_1+\cdots+W_n=W_1\cap\cdots\cap W_n$ 不會很奇怪嗎？同樣的，出現了 $V_1$ 又定義 $V_n$ 也很奇怪？另外前面已提過手寫大小寫分不清，一下包含一下屬於，看的人若脾氣不好就把你退稿了！請記得看一下前面別人的帖子再回覆。

8879576  所用的概念是利用任意多個 subspace 交集仍為 subspace （Question 3.6, 包子入侵 有證明；可是寫得不夠完美，希望有人指正）來證明在一般的 vector space 中擁有某些特性的 subspace 一定有最小的。它很容易證明了存在性；但缺點是 non-constructive 的方式，因此這方法無法知道其元素。不過在我們的問題（即包含 $W_1,\dots,W_n$ 最小的 subspace），有 constructive 的方式，就是包子入侵 一開始的定義。所以 8879576 在此問題論證上的謬誤就是：沒有證明用交集所定義的就是所求；而是重寫一遍 包子入侵 已經論證的部分。正確的論證應是補上 Question 3.6 說明它是 subspace（順便將 包子入侵 的證明寫得更完美），再加上證明每個 $W_i$ 真的都在這個交集中（這是一般數學導論的習題）。證明完成後，就可以很帥的說 包子入侵 和 一塊土 用 constructive 的方式所得的 subspace 是最小的，而你定義的也是最小的。也就是說它們互相有包含關係，因此相等。

感謝老師指出的問題

初版的這句話

將這兩個概念搞混了

事實上因(2)包含於(1)，所以小u有可能在(1)裡面而不在(2)。((2)不一定會是vector space)

在這裡補上不用反證法的(b)證明

但是我證明的和包子入侵差不多

符號不清問題還未解決為何堅持用 $W_\alpha$ 呢？（有人了解問題所在嗎？）

提出新的方式定義 $W_1+\cdots+W_n$，就好好證明這方式確實符合所求（目前這裡還不完整）。

處理好了就不必再證別人證過的事情，因為兩邊都是最小的當然互相包含。

有人懂我的意思嗎？請大家學好論證時先想好要論證什麼，論證時要有主體性（整合思維），不要想到什麼就證什麼，沒有抓住要點。