張翔誠實名討論 請不要將零矩陣寫成零向量。(2)寫得亂七八糟，考試時請清楚表達否則你不認真寫，我們就不認真改你的卷子。

包子入侵 請不要將"係數積"說成"乘法"；向量空間沒有乘法。(2)尚未完整回答。請處理一般狀況。

目前因 張翔誠實名討論 先寫出(1)得 1pt. 請大家嘗試如何完成(2)，可得 2pts.

說明

     論證 \(W_3 ≤ M_n\) （也就是 \((I)\)）的部分，我認為既然是從 entry 來看，把 notation 寫好會比較清楚。同時，舉出一個新的、特定的矩陣時，應該標注該矩陣為方陣，比如過程中 \(O_{n\times n}\in M_n\)。

     論證 \(M_n \subseteq W_1 + W_3\) 的 (i) 部分，我們參考 包子入侵 的選法，根據所取的矩陣建構了兩個方陣來滿足要求，並在 (i)-1 部分中補足了必要敘述。

     我當時在糾結要不要寫下該敘述的證明，最後認為其證明方式都是「分 case」、「拆定義」，而僅列出 (i)-2 的證明。

第 2 小題解法

其實我不應該那麼介意老師的言詞，應該是要理解老師的辛苦，如果班上有一半同學都有回答，同學只要回答一篇，老師就要看20幾個人的回應，並且加以說明和指正。是相當辛苦的事情。老師對不起，讓你收到我情緒化的樣子，真的很對不起，當初不實名就是為了大家不要介意別人的指正，該介意的是其他人正確的地方，對的學習，不對的指正。我不應該生氣，我會虛心學習，希望老師可以繼續指導我。

晴月夢 給了(2)清楚且詳細的解答。

包子入侵 其實一開始就理解如何處理一般情況，不過我們還是希望學生應該懂得如何用數學符號表達。雖然自己弄懂了！就能享受數學的快樂，但是畢竟還是要顧慮別人是否懂得你的想法。否則以後即使有了天大的發現，卻沒人能理解不就太可惜了？

張翔誠實名討論 再次的修正我終於看懂了。也因此才有辦法知道其想法有何缺失（所以還是希望大家能學會清楚表達想法）。大家應該不難發現晴月夢 、包子入侵 的論證都是從 $M_n$ 任取一個矩陣 $D$ 開始，然後想辦法找到 $W_1,W_3$ 中的矩陣 $B,C$ 使得 $D=B+C$，如此就完成了 $M_n\subseteq W_1+W_3$ 的論證。而 張翔誠實名討論 則是給了 $B\in W_1,C\in W_3$，然後想辦法說明 $B+C$ 會是什麼樣子。這樣的論述其實是證明 $W_1+W_3\subseteq M_n$ 這個原本成立的方向。雖然之中有解釋，但是邏輯上很難克服，這也是前面提到突然跑出個 $k$ 但不知何物的困境。所以請掌握『集合包含關係的論證方向』以及『存在性是要用已知的東西表達』，這兩個重要概念。也就是說  張翔誠實名討論 的論述中是要將 $b_{ij}$, $c_{ij}$ 用 $d_{ij}$ 來表示；而不是用 $b_{ij}$, $c_{ij}$ 來表示 $d_{ij}$。希望大家能理解其中差異。