這題很有趣，大家都沒問題嗎？包子入侵 並沒有證出 $U$ 是 vector space，有人能指正嗎？

考慮集合$U=\{(a,b):a,b\in \mathbb{R, a>0\land b>0}\}$。有加法運算以及對$\mathbb{R}$的係數積運算，若集合$U$是vector space over $\mathbb{R}$，則這兩種運算必須符合8個性質(Def. 3.2.1)，以下是說明過程（題目給定$\mathbf{u}=(a,b), \mathbf{v}=(c,d)\in U$）：

(1)$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(ac,bd)=(ca,db)=\mathbf{v}+\mathbf{u}$

(2)令$\mathbf{w}=(e,f)\in U$（其中$e,f\in \mathbb{R}, e>0\land f>0$），有$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=((ac)e,(bd)f)=(a(ce),b(df))=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

(3)考慮$\mathbf{u}=(a,b)=(1\times a,1\times b)$，令$\mathbf{0_u}=(1,1)\in U$，故存在$\mathbf{0_u}$使得$\mathbf{0_u}+\mathbf{u}=(1\times a,1\times b)=(a,b)=\mathbf{u}$

(4)令$\mathbf{u'}=(a',b')$，而$\mathbf{u}+\mathbf{u'}=\mathbf{0_u} \Rightarrow (a\cdot a', b\cdot b')=(1,1) \Rightarrow (a',b')=a^{-1},b^{-1})$，而$\mathbf{u'}=(a',b')\in U$（其中$a^{-1},b^{-1}\in \mathbb{R}, a^{-1}>0\land b^{-1}>0$），故可以找到$\mathbf{u'}=(a',b')$使得$\mathbf{u}+\mathbf{u'}=\mathbf{0_u}$

(5)因定義$r\in \mathbb{R}, \mathbf{u}=(a,b)\in U$，有$r\mathbf{u}=(a^r,b^r)$，當$r=1$，有$1\mathbf{u}=(a^1,b^1)=(a,b)=\mathbf{u}$

(6)給定$r,s\in \mathbb{R}$，$r(s\mathbf{u})=r(a^s,b^s)=((a^s)^r,(b^s)^r)=(a^{sr},b^{sr})=(a^{rs},b^{rs})=(rs)\mathbf{u}$

(7)給定$r\in \mathbb{R}, \mathbf{u},\mathbf{v}\in U$，$r(\mathbf{u}+\mathbf{v})=r(ac,bd)=((ac)^r,(bd)^r)=(a^r\cdot c^r,b^r\cdot d^r)=r\mathbf{u}+r\mathbf{v}$

(8)給定$r,s\in \mathbb{R},\mathbf{u}\in U$，$(r+s)\mathbf{u}=(a^{r+s},b^{r+s})=(a^r\cdot a^s, b^r\cdot b^s)=r\mathbf{u}+s\mathbf{u}$

pyptouo666 請問你 (3)(4) 的 $\mathbf{0}_{\mathbf{u}}$ 是什麼？其下標 $_\mathbf{u}$ 有何意義？

再強調一次存在性請直接用已知的東西表達你找到的東西，然後驗證它真的是你要找東西（有這麼難懂嗎？拜託請不要再出錯了！）請重寫你的(3)(4)

當要驗證兩個東西相等，在不明顯的情況時，請分別從兩邊算起，再驗證相等。請避免一式寫到底，中間過程會有瑕疵。例如(6)先算 $r(s\mathbf{u})$ 再算 $(rs)\mathbf{u}$ ，然後驗證相等。請將 (6)(7)(8)補正。

• $\mathbf{0_u}$為沿用包子入侵的寫法，欲表示$U$的zero vector
• 針對(3)(4)，用已知的東西表達要求的東西，並驗證是否為要求的東西，以說明存在性。嘗試進行改寫如下:
  (3)
  已知$\forall \mathbf{u}=(a,b)\in U$，且有$\mathbf{0_u}=(1,1)\in U$，由已知的加法運算得出$\mathbf{0_u}+\mathbf{u}=(1,1)+(a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)=\mathbf{u}$，故對任意$\mathbf{u}\in U$，存在$\mathbf{0_u}=(1,1)\in U$滿足$\mathbf{0_u}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$
  (4)
  已知$\forall \mathbf{u}=(a,b)\in U$，且有$\mathbf{u'}=(a^{-1},b^{-1})\in U$，由已知的加法運算得出$\mathbf{u}+\mathbf{u'}=(a,b)+(a^{-1},b^{-1})=(a\cdot a^{-1},b\cdot b^{-1})=(1,1)=\mathbf{0_u}$，故對任意$\mathbf{u}\in U$，可找到$\mathbf{u'}=(a^{-1},b^{-1})\in U$，滿足$\mathbf{u}+\mathbf{u'}=\mathbf{0_u}$

• 針對(6)(7)(8)，與包子入侵做法相同，在此就不再贅述了...

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  以上，若有誤，請再予以指正，謝謝。

兩位參與者已將本題寫得很完整。不過還是囉唆一下，老師希望大家趁這個機會學習讓論述寫得很完美。符號的運用還是很重要。

pyptouo666  為何要沿用包子入侵的符號寫法呢？我特別指出也是希望兩位注意：零向量不會因元素而更動；而你們的寫法會讓人誤解它會因所選的向量 $\mathbf{u}$ 而更動（這就是我擔心的）。我能理解你們怕使用 $\mathbf{0}$ 會和 $(0,0)$ 混淆：這是不必擔心的因為數學一旦定義清楚了，別人就不會誤解。這也是本題大膽用 $+$ 這個符號的用意。因為在一個向量空間零向量是唯一的，所以我們都可以大膽使用 $\mathbf{0}$ 表示；除非是涉及兩個相異空間 $U$、$V$，此時一般會用 $\mathbf{0}_U$、$\mathbf{0}_V$ 區分。所以此題若避免被誤解，可用 $\mathbf{0}_U$，但請不要用 $\mathbf{0}_{\mathbf{u}}$（特別是又涉及向量 $\mathbf{u}$）。