老師沒有講rank的不等式，在這邊補充一下

感謝薛桃梅同胞的證明
來自延安大學數學與電腦科學學院，陝西 延安

有沒有人可以不用到rank的不等式解決此題？

謝謝包子和翔誠提供的解答思路，我發現這題其實無需利用rank的不等式的定義，只需利用invertible與rank之間的性質關係即可，在此提供解答：

第（2）小題是利用（1）小題的結果以及反證法得出的結果，本解答為將包子不必要的部分進行些微修改。

QWQ.  回答相當完整。注意(2)可以直接用(1)處理，請有興趣的同學回覆補上論述。

一塊土 沒有抓住我說的重點。重複 QWQ. 的證明不夠 COOL ，直接套 (1) 的結果一句話證完才是 酷！有誰懂我在說什麼？

目前想到的方法

如果這不是最直接的可以跟我說

(1)已明確證明了（在 $m,n$ 沒有任何限制下）：如果 $AB$ 為 $m$ 階可逆方陣，則 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)=m$。(2)為何還要重證一次呢？有人懂我的意思嗎？（不要被 $m,n$ 限制住了！）

第 (2) 小題證明敘述

By Contrapositive。

若 \(BA\) 為 \(n\) 階可逆方陣，由 (1) 得 \(rank(B) = rank(A) = n\)，又由條件和 (1) 得 \(rank(A) = rank(B) = m\)，故得 \(m=n\)。

在 (2) 時我們有 \(BA \in M_{n\times n}\)、\(B \in M_{n\times m}\)、\(A\in M_{m\times n}\)，加上 \(BA\) 為 invertible 的假設，其實就滿足套用 (1) 的前提。

不確定是否足夠達意。

很好！從這裡我們知道。如果已知 $AB$ 為可逆，一般來說 $BA$ 有可能不是可逆矩陣；但若又知 $BA$ 為可逆，表示 $A$, $B$ 為同階方陣，也因此得 $A$ 和 $B$ 皆為可逆。