在包子的解答中，（1）（4）小題皆用到了rank的不等式，我認為用解的存在性和解的唯一性來解會相對直觀或簡單。故提供不同的解題思路：

包子入侵 用了太多沒必要且未知 rank 的性質。兩位(1) $m<n$ 都沒有解釋清楚，請善用矩陣相乘為 identity 其 rank 的特性。有無窮多解也沒說好。

(2) $C$ 的找法建議先說 $\mathbf{c}_i$ 是什麼，再寫 $C$（避免先出現未說明的符號）。

(3) 包子入侵 零矩陣和零向量不要混用。 QWQ. 的框框裡就是唯一性，為何說成存在性？

請給更完整的回覆。

利用 Thm 2.4.2 和 Thm 2.4.5，欲充分說明各項敘述之等價性，以及存在無窮多種的情形，提出另一種看法。以下是解題想法：

(1) 根據題意，給定$A\in M_{m\times n}$，其中$m\neq n$。假設$B\in M_{n\times m}$滿足$AB=I_m$，意即符合Thm 2.4.2 (4)，其等價於(3)$rank(A)=m$。而一般而言，$rank(A)\le min\{m,n\}$，又題目假設$m\neq n$，故$rank(A)=m<n$，得出$m<n$。

根據Thm 2.4.5 (3)（其否定敘述），若$rank(A)\neq n$，Homogeneous system$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ "有" nontrivial solution，即$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$有非$\mathbf{0}$解，令其為$\mathbf{v}$，$A\mathbf{v}=\mathbf{0}$。

由於假設符合Thm 2.4.2，其等價於(1) 對任意$\mathbf{b}\in \mathbb{R}^m$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$皆有解，令某個解為$\mathbf{x_0}$使得$A\mathbf{x_0}=\mathbf{b}$。

對$t\in \mathbb{R}$，皆有$A(\mathbf{x_0}+t\mathbf{v})=A\mathbf{x_0}+A(t\mathbf{v})=A\mathbf{x_0}+t(A\mathbf{v})=A\mathbf{x_0}+t\cdot\mathbf{0}=A\mathbf{x_0}=\mathbf{b}$，這是對任意$\mathbf{b}\in \mathbb{R}^m$都成立的。由於$t$有無窮多種，故$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有無窮多解（其解為$\mathbf{x_0}+t\mathbf{v}$）。

(2) 題意欲說明對任意$k\in \mathbb{N}$，皆存在無窮多矩陣$C\in M_{n\times k}$，使得$AC=O_{m\times k}$。

令$C=\begin{bmatrix}|& &|\\ \mathbf{c_1}&\cdots& \mathbf{c_k}\\|& &| \end{bmatrix}$，題意即$\forall j, 1\le j\le k$，皆有$A\mathbf{c_j}=\mathbf{0}$，即所有$\mathbf{c_j}$都是$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$之解。

根據(1)，由題目假設可以得，$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$必有非$\mathbf{0}$解$\mathbf{v}$。$\forall j, 1\le j\le k$，令$\mathbf{c_j}=t_j\mathbf{v}$，其中$t_j\in \mathbb{R}$，使得$C=\begin{bmatrix}|& &|\\ t_1\mathbf{v}&\cdots&t_k\mathbf{v}\\|& &| \end{bmatrix}$，由於$t_j\in \mathbb{R}$有無窮多選擇，故有無窮多的$C\in M_{n\times k}$，滿足$AC=O_{m\times k}$。

(3) 題意欲說明對任意$k\in \mathbb{N}$，僅有唯一矩陣$D\in M_{k\times m}$，使得$DA=O_{k\times n}$。

令$D= \begin{bmatrix} r_1\\ \vdots \\r_k \end{bmatrix}$，其中$\forall j, 1\le i\le k$，皆有$\mathbf{r_i}\in \mathbb{R}^{1\times m}$，題意即$\forall i, 1\le i\le k$，皆有$\mathbf{r_i}A=O_{1\times n}$，所有$\mathbf{r_i}$都是唯一的。將柿子取轉置，即驗證$(\mathbf{r_i}A)^t=(O_{1\times n})^t \Rightarrow A^t\mathbf{r_i}^t=O_{n\times 1}$。

根據(1)，由題目假設可以得$rank(A)=m$，且$A\in M_{m\times n}$，則$A^t\in M_{n\times m}$，且$rank(A^t)=m$。

其符合Thm 2.4.5 (3)，等價於(2)，對於$A^t\mathbf{x}=\mathbf{0}$沒有nontrivial solution，即僅有唯一trivial solution，故$\forall i, 1\le i\le k$，皆有$\mathbf{r_i}^t=\mathbf{0}$，得$\mathbf{r_i}=\mathbf{0}$且$\mathbf{r_i}$皆唯一。

由上述得，僅有唯一矩陣$D=O_{k\times m}$使得$DA=O_{k\times n}$。

(4) 根據(1)，由題目假設可以得$rank(A)=m$，又$m=rank(I_m)=rank(AB)\le min\{rank(A), rank(B)\}$，又$B\in M_{n\times m}$，得知$rank(B)\le min\{m, n\}$，故$rank(B)=m$。

因$rank(B)=m$，所以$rank(B^t)=m$。

• 初次使用文字方式編排，還請大家多多包涵(●'◡'●)
• 如說明有瑕疵、過程有誤、過度說明等等...，還請老師以及大家多多指正，謝謝~
• 在完成此題之後，才發現這週作業尚未提及Thm 2.4.5，但還是用了...
• 關於$rank(AB)\le min\{rank(A), rank(B)\}$這個關係式推導尚有不解之處，有望各位大大解答

關於 m < n 的證明

    先談談在 包子入侵 和 pyptouo666 的證明中都有出現的敘述：$rank(A) ≤ min\{m, n\}$。

    這個敘述可以追溯至最一開始講到 pivot variable 時——我們定義，$rank(A)$ 為 $A$ 的 pivot variables 個數。而這個不等式的概念，源自我們對方程組的直觀理解：

• 一個 row 至多只有一個 pivot。（$\Rightarrow rank(A) ≤ m$）
• variables 和 columns 是一一對應。（$\Rightarrow rank(A) ≤ n$）

    因此我認為這個敘述是能使用的。

    針對證明的過程來看， 我認為 pyptouo666 的解法較完整，他說明 $m = rank(A) ≤ n$，過程有列出前提。

    包子入侵 在這部分的證明，我有以下建議：

• $rank(AB)=m$ 這個敘述沒有必要。
• $m ≤ rank(A)$ 的原因，看起來不是很明顯。
• 列出 claim 和具體的矛盾點，應該會更有條理一些。例如這裡使用到的矛盾應該是 $n ≥ m \land m > n$，claim 是 $m≤n$，使用的方法是反證法。

    QWQ 在這部分則沒有說明。

有 free variable 不代表有無窮多組解

     要證明一個方程組有無窮多解，我們得證明「方程組有解」以及「方程組若有解，則有無窮多解」。free variable 的存在僅表示後者。

      包子入侵 和在「有無窮多解」上面的解法都忽略了這件事，只嘗試說明「解唯一」，甚至沒提到 $rank(A) = m$。

      證明存在性這一點 QWQ 和 pyptouo666 的解法有做到。

用 non-constructive 的辦法，如何證明若有解，則有無窮多組解

    QWQ 的解法中，從 $\not\exists C, CA = I_n$ 到解不唯一這段過程，並不直接，需要說明。

    包子入侵 的解法想證明的是「$A$ 有 free variable」，這個方向應該可以，但是得說明清楚：

• 我們有 $rank(A) = m$，因為 $AB = I_m$......
• 我們有 $rank(A) < n$，因為 $rank(A) = m < n$。

    或是

• 我們有 $rank(A) < n$，因為 $rank(A) ≤ min\{m, n\} = m$ 且 $m < n$。

關於用 constructive 的辦法，證明有無窮多組解

    pyptouo666 使用的方法即為此種辦法。我個人認同這個解法，在此補充幾點：

• 注意我們得到的其實是解集的子集合 $\{\mathbf{x}_0 + t\mathbf{v} \mid A\mathbf{x}_0 = \mathbf{b} \land A\mathbf{v} = \mathbf{0}\land t\in\mathbb{R}\}$，並不是解集。之所以我們可以說「有無窮多解」，是因為這個子集合有無窮多個元素。
• 最後下結論時，我覺得補一個 $\mathbf{v}\not= \mathbf{0}$ 會比較好，這是解法成立的重要前提之一。

先這樣，睡了🥱

PS：pyptouo666 你的定理列錯了 🫠，應該是 Thm 2.5.2 和 Thm 2.5.5。

請勿用 $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(A)$、 $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(B)$ 以及  $\mathrm{rank}(A^t)= \mathrm{rank}(A)$ 這些性質，況且本題確實不需要。QWQ. 是唯一完整回答(4)得 2pts.

pyptouo666 (1) 回答得最完整得 1pt.

包子入侵 (3)的唯一性寫的最清楚簡明得 1pt.；(2)每個人都寫的像唯一性。不過包子入侵 最先提出想法得1pt.

再提醒一次，先寫下 $C$ 的每個 column 是哪些向量，再說明 $AC=\mathbf{O}$，才是存在性的證明。