晴月夢 8 October 2025 討論區 線性代數習題討論 集思廣益。 針對 (1) 的 type 1 晴月夢 四, 2025-10-09 17:20 解題思路 elementary row operation 是 row 的操作，因此我們可以用 row 來表示一個 elementary matrix。注意一個 elementary matrix 的 column 還沒辦法直接寫下——這是這題需要求解和證明的事情。 根據 transpose 的定義，我們可以寫下其 transpose 的 column，接下來只要找到一個和剛才的矩陣相同的 elementary matrix，並且證明其相等就好。 在 $3\times 3$ elementary matrix 上嘗試，能發現一個 type $1$ 的 elementary matrix 的 transpose 就是自身，因此其 transpose 也是 elementary matrix 且為 symmetric。但推廣到 $n$ 階矩陣時，我們仍然需要證明，畢竟一般而言，列運算會影響到每一個 column，也就是其 transpose 後的每一個 row 的值，代表其 transpose 的每個 row 都可能和 identity matrix 的 row 不一樣。我們得確保兩矩陣的每一個 row（或者每一個 column）都相等才行。 但兩個矩陣的表示法不同，不能直接比較，因此這次的情況不能直接用 column 或 row 的角度來看。（如果有人找到方法，歡迎分享指正。） 這裡採用的是這週剛剛教過的，矩陣乘法的第四種看法：$AB = \sum\limits_{k=1}^n\mathbf{a}_k{_k\mathbf{b}}$, $A\in M_{m\times n}$, $B\in M_{n\times l}$。我們可以適當的在原矩陣左乘或右乘單位矩陣，照著第四種看法的方式照定義展開，最後用矩陣 (或著向量) 運算的性質，就能證明了。 該部分解答 We consider $n\times n$ type $1$ elementary matrices. Let $E$ be the elementary matrix which we get by performing type $1$ elementary row operations that interchanges $p$-th row and $q$-th row, $p<q\le n$. By definition, \[\begin{aligned}E &= \begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\dots\\_{p-1}\mathbf{e}\\_{q}\mathbf{e}\\_{p+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_{q-1}\mathbf{e}\\_p\mathbf{e}\\_{q+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= I\begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\dots\\_{p-1}\mathbf{e}\\_{q}\mathbf{e}\\_{p+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_{q-1}\mathbf{e}\\_p\mathbf{e}\\_{q+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_p&\dots&\mathbf{e}_q&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\dots\\_{p-1}\mathbf{e}\\_{q}\mathbf{e}\\_{p+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_{q-1}\mathbf{e}\\_p\mathbf{e}\\_{q+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= \sum\limits_{k=1}^{p-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_p{_q\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=p+1}^{q-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_q{_p\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=q+1}^{n}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}}\end{aligned}\] Since $I_n$ is symmetric, by definition, \[\begin{aligned}E^t &= \begin{bmatrix}_1\mathbf{e}^t&\dots&_{p-1}\mathbf{e}^t&_{q}\mathbf{e}^t&_{p+1}\mathbf{e}^t&\dots&_{q-1}\mathbf{e}^t&_p\mathbf{e}^t&_{q+1}\mathbf{e}^t&\dots&_n\mathbf{e}^t\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_{p-1}&\mathbf{e}_q&\mathbf{e}_{p+1}&\dots&\mathbf{e}_{q-1}&\mathbf{e}_p&\mathbf{e}_{q+1}&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_{p-1}&\mathbf{e}_q&\mathbf{e}_{p+1}&\dots&\mathbf{e}_{q-1}&\mathbf{e}_p&\mathbf{e}_{q+1}&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix}I \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_{p-1}&\mathbf{e}_q&\mathbf{e}_{p+1}&\dots&\mathbf{e}_{q-1}&\mathbf{e}_p&\mathbf{e}_{q+1}&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\vdots\\_p\mathbf{e}\\\vdots\\_q\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= \sum\limits_{k=1}^{p-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_q{_p\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=p+1}^{q-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_p{_q\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=q+1}^{n}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} \\&= \sum\limits_{k=1}^{p-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_p{_q\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=p+1}^{q-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_q{_p\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=q+1}^{n}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}}\end{aligned}\]Hence, $E^t = E$. Then by definition, $E^t$ is an elementary matrix and $E$ is symmetric.$\blacksquare$type $2$ 和 type $3$ 的部分，套定義，用一樣的方法，應該也能行？之後有機會再補 type $2$ 和 type $3$，以及 (2) 的部分。補充：我發現我忘了 $p=q$ 的情況，不過這應該比較 trivial。有時間的話我再添加。 登入 或 註冊 以發表評論。 Elementary Matrix 的形式很簡單 Li 週六, 2025-10-11 16:05 Elementary Matrix 之所以叫它基本，就是形式很簡單。晴月夢 把它弄得太複雜了。用 entry 來看即可。養成習慣，避免不必要的資訊，這樣不只更有條理而且說理清楚。例如要說一個矩陣是 symmetric 只要拿對角線外的 entry 來看即可。所以很容易看出 type II 的 elementary matrix 一定是 symmetric。為什麼呢？大家可以說說看。 登入 或 註冊 以發表評論。
針對 (1) 的 type 1 晴月夢 四, 2025-10-09 17:20 解題思路 elementary row operation 是 row 的操作，因此我們可以用 row 來表示一個 elementary matrix。注意一個 elementary matrix 的 column 還沒辦法直接寫下——這是這題需要求解和證明的事情。 根據 transpose 的定義，我們可以寫下其 transpose 的 column，接下來只要找到一個和剛才的矩陣相同的 elementary matrix，並且證明其相等就好。 在 $3\times 3$ elementary matrix 上嘗試，能發現一個 type $1$ 的 elementary matrix 的 transpose 就是自身，因此其 transpose 也是 elementary matrix 且為 symmetric。但推廣到 $n$ 階矩陣時，我們仍然需要證明，畢竟一般而言，列運算會影響到每一個 column，也就是其 transpose 後的每一個 row 的值，代表其 transpose 的每個 row 都可能和 identity matrix 的 row 不一樣。我們得確保兩矩陣的每一個 row（或者每一個 column）都相等才行。 但兩個矩陣的表示法不同，不能直接比較，因此這次的情況不能直接用 column 或 row 的角度來看。（如果有人找到方法，歡迎分享指正。） 這裡採用的是這週剛剛教過的，矩陣乘法的第四種看法：$AB = \sum\limits_{k=1}^n\mathbf{a}_k{_k\mathbf{b}}$, $A\in M_{m\times n}$, $B\in M_{n\times l}$。我們可以適當的在原矩陣左乘或右乘單位矩陣，照著第四種看法的方式照定義展開，最後用矩陣 (或著向量) 運算的性質，就能證明了。 該部分解答 We consider $n\times n$ type $1$ elementary matrices. Let $E$ be the elementary matrix which we get by performing type $1$ elementary row operations that interchanges $p$-th row and $q$-th row, $p<q\le n$. By definition, \[\begin{aligned}E &= \begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\dots\\_{p-1}\mathbf{e}\\_{q}\mathbf{e}\\_{p+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_{q-1}\mathbf{e}\\_p\mathbf{e}\\_{q+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= I\begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\dots\\_{p-1}\mathbf{e}\\_{q}\mathbf{e}\\_{p+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_{q-1}\mathbf{e}\\_p\mathbf{e}\\_{q+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_p&\dots&\mathbf{e}_q&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\dots\\_{p-1}\mathbf{e}\\_{q}\mathbf{e}\\_{p+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_{q-1}\mathbf{e}\\_p\mathbf{e}\\_{q+1}\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= \sum\limits_{k=1}^{p-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_p{_q\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=p+1}^{q-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_q{_p\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=q+1}^{n}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}}\end{aligned}\] Since $I_n$ is symmetric, by definition, \[\begin{aligned}E^t &= \begin{bmatrix}_1\mathbf{e}^t&\dots&_{p-1}\mathbf{e}^t&_{q}\mathbf{e}^t&_{p+1}\mathbf{e}^t&\dots&_{q-1}\mathbf{e}^t&_p\mathbf{e}^t&_{q+1}\mathbf{e}^t&\dots&_n\mathbf{e}^t\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_{p-1}&\mathbf{e}_q&\mathbf{e}_{p+1}&\dots&\mathbf{e}_{q-1}&\mathbf{e}_p&\mathbf{e}_{q+1}&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_{p-1}&\mathbf{e}_q&\mathbf{e}_{p+1}&\dots&\mathbf{e}_{q-1}&\mathbf{e}_p&\mathbf{e}_{q+1}&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix}I \\&= \begin{bmatrix}\mathbf{e}_1&\dots&\mathbf{e}_{p-1}&\mathbf{e}_q&\mathbf{e}_{p+1}&\dots&\mathbf{e}_{q-1}&\mathbf{e}_p&\mathbf{e}_{q+1}&\dots&\mathbf{e}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}_1\mathbf{e}\\\vdots\\_p\mathbf{e}\\\vdots\\_q\mathbf{e}\\\vdots\\_n\mathbf{e}\end{bmatrix} \\&= \sum\limits_{k=1}^{p-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_q{_p\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=p+1}^{q-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_p{_q\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=q+1}^{n}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} \\&= \sum\limits_{k=1}^{p-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_p{_q\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=p+1}^{q-1}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}} + \mathbf{e}_q{_p\mathbf{e}} + \sum\limits_{k=q+1}^{n}\mathbf{e}_k{_k\mathbf{e}}\end{aligned}\]Hence, $E^t = E$. Then by definition, $E^t$ is an elementary matrix and $E$ is symmetric.$\blacksquare$type $2$ 和 type $3$ 的部分，套定義，用一樣的方法，應該也能行？之後有機會再補 type $2$ 和 type $3$，以及 (2) 的部分。補充：我發現我忘了 $p=q$ 的情況，不過這應該比較 trivial。有時間的話我再添加。 登入 或 註冊 以發表評論。
Elementary Matrix 的形式很簡單 Li 週六, 2025-10-11 16:05 Elementary Matrix 之所以叫它基本，就是形式很簡單。晴月夢 把它弄得太複雜了。用 entry 來看即可。養成習慣，避免不必要的資訊，這樣不只更有條理而且說理清楚。例如要說一個矩陣是 symmetric 只要拿對角線外的 entry 來看即可。所以很容易看出 type II 的 elementary matrix 一定是 symmetric。為什麼呢？大家可以說說看。 登入 或 註冊 以發表評論。
針對 (1) 的 type 1
解題思路
elementary row operation 是 row 的操作，因此我們可以用 row 來表示一個 elementary matrix。注意一個 elementary matrix 的 column 還沒辦法直接寫下——這是這題需要求解和證明的事情。
根據 transpose 的定義，我們可以寫下其 transpose 的 column，接下來只要找到一個和剛才的矩陣相同的 elementary matrix，並且證明其相等就好。
在 $3\times 3$ elementary matrix 上嘗試，能發現一個 type $1$ 的 elementary matrix 的 transpose 就是自身，因此其 transpose 也是 elementary matrix 且為 symmetric。但推廣到 $n$ 階矩陣時，我們仍然需要證明，畢竟一般而言，列運算會影響到每一個 column，也就是其 transpose 後的每一個 row 的值，代表其 transpose 的每個 row 都可能和 identity matrix 的 row 不一樣。我們得確保兩矩陣的每一個 row（或者每一個 column）都相等才行。
但兩個矩陣的表示法不同，不能直接比較，因此這次的情況不能直接用 column 或 row 的角度來看。（如果有人找到方法，歡迎分享指正。）
這裡採用的是這週剛剛教過的，矩陣乘法的第四種看法：$AB = \sum\limits_{k=1}^n\mathbf{a}_k{_k\mathbf{b}}$, $A\in M_{m\times n}$, $B\in M_{n\times l}$。我們可以適當的在原矩陣左乘或右乘單位矩陣，照著第四種看法的方式照定義展開，最後用矩陣 (或著向量) 運算的性質，就能證明了。
該部分解答
type $2$ 和 type $3$ 的部分，套定義，用一樣的方法，應該也能行？
之後有機會再補 type $2$ 和 type $3$，以及 (2) 的部分。
補充：我發現我忘了 $p=q$ 的情況，不過這應該比較 trivial。有時間的話我再添加。