假設我們有矩陣   $A=\left[\begin{array}{c}i row\\ j row\end{array}\right]$對其做一次type1可以得到$\left[\begin{array}{c}j row\\ i row\end{array}\right]$而為了得到相同結果也可以先用type3 把 2 row乘上1加到 1 row$\left[\begin{array}{c}i row+j row\\ j row\end{array}\right]$用第二次type3把 1 row乘上-1加到2 row
$\left[\begin{array}{c}i row+j row\\ -i row\end{array}\right]$用type2把2 row乘以-1$\left[\begin{array}{c}i row+j row\\ i row\end{array}\right]$最後用第三次type3把2 row乘上-1加到1 row$\left[\begin{array}{c}j row\\ i row\end{array}\right]$由此得證所有 type 1 的 elementary row operation 皆可經由三次 type 3 的 elementary row operation 與一次 type 2 的 elementary row operation 得到

說明某一個 row 乘上 −1 這種 type 2 的 elementary row operation，也可經由三次 type 3 的 elementary row operation 與一次 type 1 的 elementary row operation 得到

令$A\left[\begin{array}{c}i row\\ j row\end{array}\right]$把1 row乘上-1得到$\left[\begin{array}{c}-i row\\ j row\end{array}\right]$為了得到這個結果我們可以先用第一次type3把1 row乘上-1加到2 row$\left[\begin{array}{c}i row\\ -i row +j row\end{array}\right]$
再用第二次type3把2 row乘上1加到1 row$\left[\begin{array}{c}j row\\ -i row+j row\end{array}\right]$在用第三次type3把1 row乘上-1加到2 row$\left[\begin{array}{c}j row\\ -i row\end{array}\right]$最後用type1兩列互換$\left[\begin{array}{c}-i row\\ j row\end{array}\right]$由此得證

exercise1.5(3)未必要重新做一次喔~~

在exercise1.5(2)中，我們已知type 1可以由三次type 3+一次type 2得到

那再結合exercise1.1中elementary row operation的"可逆性"，就可以得到exercise1.5(3)要的結果嘍~~

(可以想想"可逆性"應該用在哪)