(1) 由 $Q^{\text{t}}SQ = D$，
可知 $S = QDQ^{\text{t}}$.

此時，$S^{\text{t}}S = (QDQ^{\text{t}})^{\text{t}}(QDQ^{\text{t}}) = QD^{\text{t}}Q^{\text{t}}QDQ^{\text{t}}$

因 $Q$ 為 orthogonal matrix，
故 $Q^{\text{t}}Q = I_n$.

得 $S^{\text{t}}S = QD \cdot DQ^{\text{t}} = QD^2Q^{\text{t}}$.

因 $D^2 = \begin{bmatrix} \lambda_1^2 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda_n^2 \end{bmatrix}$，

$\therefore S^{\text{t}}S$ 的 eigenvalue 為 $\lambda_1^2, \dots, \lambda_n^2$.

故 $S$ 的 singular value 為 $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i^2} = |\lambda_i|, \quad \forall i = 1, \dots, n$.

(2) Consider $S$ 之一組 svd，$S = U\Sigma V^{\text{t}}$，其中 $V = Q$.

令 $Q = V = \begin{bmatrix} \mid & & \mid \\ \mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_n \\ \mid & & \mid \end{bmatrix}$， $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \sigma_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |\lambda_1| & & O \\ & \ddots & \\ O & & |\lambda_n| \end{bmatrix}$

故 $S = U\Sigma Q^{\text{t}}$

$SQ = U\Sigma$

由此可知，$S\mathbf{v}_i = \sigma_i \mathbf{u}_i$

又 $Q^{\text{t}}SQ = D \implies SQ = QD$

可知 $S\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$

故得 $\lambda_i \mathbf{v}_i = \sigma_i \mathbf{u}_i$

$$
\begin{array}{l|l}
\text{若 } \lambda_i = 0\text{, 則 } \sigma_i = 0, & \text{若 } \lambda_i \neq 0\text{, 則 } \sigma_i \neq 0, \\
\quad 0 \cdot \mathbf{v}_i = 0 \cdot \mathbf{u}_i & \quad \mathbf{u}_i = \frac{\lambda_i}{\sigma_i} \mathbf{v}_i \\
\text{只要 } \langle\mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j\rangle = 0, \ \forall i \neq j & \quad \quad = \frac{\lambda_i}{|\lambda_i|} \mathbf{v}_i \\
\text{且 } \langle\mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i\rangle = 1, \ \forall i & \quad \quad = \operatorname{sgn}(\lambda_i)\mathbf{v}_i = \begin{cases} \mathbf{v}_i, & \lambda_i > 0 \\ -\mathbf{v}_i, & \lambda_i < 0 \end{cases}
\end{array}
$$

首先小題(1)確認了 $S$ 的 svd 中的 $\Sigma$ 為何。小題(2)便是利用 $\Sigma$ 的唯一性以及小題(1)中所知給定的 $Q$ 可以是 $S$ 的 svd 中的 $V$ 找出 $U$ 為何？所以邏輯上就應利用找 $U$ 的方法找出 $U$ 來，而不是如上面參考答案所述先出現 $U$ 再說 $U$ 應該是什麼（有點想說存在性卻用唯一性處理）。雖然 svd 我們都知道存在，但給定 orthogonal matrix $V$ 一定可找到 $U$ 嗎？一般來說是不一定的，所以這裡還是有邏輯上的小瑕疵；除非如前所述，先說明由小題(1)知$Q$ 可以是 $S$ 的 svd 中的 $V$。