打 X (不符合條件) 的詳細說明：

所有 $am \neq 3$ 的直列皆打 X：

因為矩陣為 $3 \times 3$ 且只有一個特徵值 $\lambda=3$，根據定義，其特徵多項式必定為 $p_A(t) = -(t-3)^3$，因此代數重根數必為 $am=3$。

$am=3$ 且 $gm=0$ 打 X：

由於對應 $\lambda=3$ 的特徵向量必然存在，其幾何重根數 $gm$ 必定大於 $0$。

$am=3$ 且 $gm \ge 4$ 打 X：

根據定理，幾何重根數必須小於或等於代數重根數 ($gm \le am$)。既然 $am=3$，幾何重根數絕對不可能大於或等於 $4$。

打 √ (符合條件) 的舉例與驗證：

要構造特徵多項式為 $-(t-3)^3$ 的矩陣。幾何重根數 $gm$ 即為矩陣 $A-3I_3$ 的零空間維度，滿足 $gm = 3 - \text{rank}(A-3I_3)$。

情況一：$am=3$ 且 $gm=3$ (即 $\text{rank}(A-3I_3) = 0$)

舉例：

驗證：

$A - 3I_3$ 為零矩陣，其 rank 為 $0$，故幾何重根數為 $3 - 0 = 3$。

情況二：$am=3$ 且 $gm=2$ (即 $\text{rank}(A-3I_3) = 1$)

舉例：

驗證：

觀察到pivot個數為$1$，rank 為 $1$，故幾何重根數為 $3 - 1 = 2$。

情況三：$am=3$ 且 $gm=1$ (即 $\text{rank}(A-3I_3) = 2$)

舉例：

驗證：

觀察到pivot個數為$2$，因此rank 為 $2$，故幾何重根數為 $3 - 2 = 1$。