因為 \(T_1\) 是對平面 \(W\) 的投影，所以：

- 若 \(v\in W\)，則投影後不變，即 \(T_1(v)=v\)，所以 \(v\) 是 eigenvalue \(1\) 的 eigenvector。
- 若 \(v\perp W\)，則投影到 \(W\) 後變成 \(0\)，所以 \(T_1(v)=0\)，因此 \(v\) 是 eigenvalue \(0\) 的 eigenvector。

而 \(T_2\) 是對平面 \(W\) 的鏡射，所以：

- 若 \(v\in W\)，鏡射後仍不變，即 \(T_2(v)=v\)，所以 \(v\) 是 eigenvalue \(1\) 的 eigenvector。
- 若 \(v\perp W\)，鏡射會反向，即 \(T_2(v)=-v\)，所以 \(v\) 是 eigenvalue \(-1\) 的 eigenvector。

因此，只要找出
\[
v_1,v_2\in W,\qquad v_3\perp W,
\]
那麼 \(v_1,v_2,v_3\) 就都會同時是 \(T_1,T_2\) 的 eigenvectors。

又因為平面
\[
W=\{(x,y,z):x-2y+z=0\}
\]
的法向量可取為
\[
n=(1,-2,1),
\]
所以任何與 \(n\) 平行的向量都垂直於 \(W\)。因此可取
\[
v_3=(1,-2,1).
\]

接著要在平面 \(W\) 中找兩個互相垂直的向量 \(v_1,v_2\)。

先取一個在 \(W\) 內的非零向量，例如
\[
v_1=(1,0,-1),
\]
因為
\[
1-2(0)+(-1)=0,
\]
故 \(v_1\in W\)。

再找一個同時滿足
\[
v_2\in W,\qquad v_2\perp v_1
\]
的向量。考慮\(v_3×v_1=(2,2,2)\)

可取
\[
v_2=(1,1,1)
\]

要\(v_1,v_2,v_3\) 互相垂直的原因是到了小題 (3) 要轉回 standard basis 時，計算會更清楚，也更容易看出矩陣怎麼來的

令
\[
P=[\,v_1\ v_2\ v_3\,]
=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&-2\\
-1&1&1
\end{pmatrix}.
\]
則 \(P\) 是從 \(\beta\)-coordinates 轉成 standard coordinates 的 change-of-basis matrix。  
因此任何linear operator \(T\) 都滿足
\[
[T]_{\text{std}}=P[T]_\beta P^{-1}.
\]

\(\textbf{先算 \(T_1\)：}\)
\[
[T_1]_{\text{std}}
=
P
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}
P^{-1}.
\]
化簡後得到
\[
[T_1]_{\text{std}}
=
\begin{pmatrix}
\frac56&\frac13&-\frac16\\
\frac13&\frac13&\frac13\\
-\frac16&\frac13&\frac56
\end{pmatrix}.
\]

\(\textbf{再算 \(T_2\)：}\)
\[
[T_2]_{\text{std}}
=
P
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}
P^{-1}.
\]
化簡後得到
\[
[T_2]_{\text{std}}
=
\begin{pmatrix}
\frac23&\frac23&-\frac13\\
\frac23&-\frac13&\frac23\\
-\frac13&\frac23&\frac23
\end{pmatrix}.
\]

小題(1)：$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 怎麼來的？請大家不要把計算題單純地認為只是計算，好好的說明清楚訓練論述能力。其實很多定理的出現都是從計算中的完整論述發展出來的。題目建議找到 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ 互相垂直用意何在（與小題(3)有關）？為何可以找到這樣的基底？若沒有要求  $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 垂直，表現矩陣會一樣嗎？

小題 (3) ：$T_1,T_2$ 的 standar matrix representation 公式怎麼來的？若題目改為在 $\mathbb{R}^4$ 投影或鏡射到一個 $2$ 維空間怎麼辦？題目不是要求使用(2)的結果嗎？（Sorry! (b) 為 (2) 的誤植）。希望大家做習題時儘量用到課堂上所教新的概念，這樣才算學會新的東西。

由上面的幾何性質知：

\(v_1,v_2\in W\)，所以
\[
T_1(v_1)=v_1,\quad T_1(v_2)=v_2,
\]
\[
T_2(v_1)=v_1,\quad T_2(v_2)=v_2.
\]

\(v_3\perp W\)，所以
\[
T_1(v_3)=0,
\qquad
T_2(v_3)=-v_3.
\]

因此在基底 \(\beta=(v_1,v_2,v_3)\) 下，
\[
[T_1]_\beta=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\qquad
[T_2]_\beta=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}.
\]

一再重申！每一主題的問題與建議不是針對個人。任何人都可以回應與更正。所以規定原發表者不要刪除或更動原來的貼文，否則論壇其他參與者無法比對、了解所提建議或問題何意，也無從得知原先貼文的不完善之處。助教統計同學參與程度也就無法正確紀錄。有任何更正請保持原先面貌，另發表新文加上更正的標題。

本題平面上的向量都會是 eigenvalue 為 1 的 eigenvector，為何題目要求找到垂直的向量當 ordered basis 呢？請同學好好討論其意義。這是之後正交對角化所需的經驗，希望經由探討理解並熟悉這個經驗。首先在小題(1)中如何找到平面上兩個互相垂直的向量？另外再加上平面上的法向量就可以形成 $\mathbb{R}^3$ 的 orthogonal basis 嗎?接著小題(3)要求的是利用表現矩陣基底轉換寫下其標準表現矩陣，和過去找投影或鏡射矩陣概念完全不同。能否將此概念推廣到更一般的空間的投影或鏡射？請明確寫下如何得到小題(3)所用的兩個基底變換矩陣，說明兩矩陣有何特別之處（除了互為反矩陣）。若當初平面上所選的兩向量不垂直，會有此特點嗎？能否利用此特點說明投影、鏡射矩陣的標準表現矩陣都會是對稱矩陣。