\[
v_1=(-1,0,1),\quad v_2=(3,-1,2),\quad v_3=(1,0,1).
\]

先分別計算：

\[
T(v_1)=T(-1,0,1)=(-1+2\cdot 0+1,\;0,\;-1+3\cdot 0+1)=(0,\;0,\;0)=0\,v_1.
\]

所以 \(v_1\) 的 eigenvalue 為
\[
\lambda_1=0.
\]

再看 \(v_2=(3,-1,2)\)：

\[
T(v_2)=T(3,-1,2)=(3+2(-1)+2,\;-1,\;3+3(-1)+2)=(3,\,-1,\;2)=v_2.
\]

所以 \(v_2\) 的 eigenvalue 為
\[
\lambda_2=1.
\]

再看 \(v_3=(1,0,1)\)：

\[
T(v_3)=T(1,0,1)=(1+2\cdot 0+1,\;0,\;1+3\cdot 0+1)=(2,\;0,\;2)=2v_3.
\]

所以 \(v_3\) 的 eigenvalue 為
\[
\lambda_3=2.
\]

因此
\[
v_1,v_2,v_3
\]
皆為 \(T\) 的 eigenvectors，其對應 eigenvalues 分別為
\[
0,\;1,\;2.
\]

設
\[
v=a v_1+b v_2+c v_3.
\]
即
\[
(1,-1,2)=a(-1,0,1)+b(3,-1,2)+c(1,0,1).
\]

比較各分量得
\[
\begin{cases}
-a+3b+c=1,\\
-b=-1,\\
a+2b+c=2.
\end{cases}
\]

由第二式得
\[
b=1.
\]

代回其餘兩式：
\[
-a+c=-2,
\]
\[
a+c=0.
\]

兩式相加得
\[
2c=-2 \Rightarrow c=-1.
\]
再由
\[
a+c=0
\]
得
\[
a=1.
\]

所以
\[
v=v_1+v_2-v_3.
\]

因為 \(v_1,v_2,v_3\) 是 eigenvectors，
\[
T^3(v)=T^3(v_1+v_2-v_3)=T^3(v_1)+T^3(v_2)-T^3(v_3).
\]

而
\[
T^3(v_1)=0^3v_1=0,
\qquad
T^3(v_2)=1^3v_2=v_2,
\qquad
T^3(v_3)=2^3v_3=8v_3.
\]

故
\[
T^3(v)=v_2-8v_3.
\]

算成標準座標：
\[
v_2-8v_3=(3,-1,2)-8(1,0,1)=(-5,-1,-6).
\]

所以
\[
T^3(v)=(-5,-1,-6).
\]

\[
T(1,0,0)=(1,0,1),\qquad
T(0,1,0)=(2,1,3),\qquad
T(0,0,1)=(1,0,1).
\]
\[
[T]_{\varepsilon}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\({再求 }[T]_{\beta}\)：

\[
T(v_1)=T(-1,0,1)
=(-1+2\cdot 0+1,\;0,\;-1+3\cdot 0+1)=(0,0,0).
\]

\[
T(v_1)=0v_1+0v_2+0v_3,
\]

\[
[T(v_1)]_{\beta}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
T(v_2)=T(3,-1,2)
=(3+2(-1)+2,\;-1,\;3+3(-1)+2)
=(3,-1,2).
\]

\[
T(v_2)=0v_1+1v_2+0v_3,
\]

\[
[T(v_2)]_{\beta}
=
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
T(v_3)=T(1,0,1)
=(1+2\cdot 0+1,\;0,\;1+3\cdot 0+1)
=(2,0,2).
\]
\[
T(v_3)=0v_1+0v_2+2v_3.
\]
\[
[T(v_3)]_{\beta}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
2
\end{bmatrix}.
\]

\[
[T]_{\beta}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}.
\]

\[
[\operatorname{id}]_{\mathcal{E}}^{\beta} [\operatorname{T}]_{\mathcal{E}}
[\operatorname{id}]_{\beta}^{\mathcal{E}}
\]

\[
[\operatorname{id}]_{\beta}^{\mathcal{E}}
\text{ 比較好求}
\]

\[
P = [\operatorname{id}]_{\beta}^{\mathcal{E}}
= \begin{bmatrix}
\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3
\end{bmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 & 3 & 1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\[
Q = [\operatorname{id}]_{\mathcal{E}}^{\beta}
= \left([\operatorname{id}]_{\beta}^{\mathcal{E}}\right)^{-1}=
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 5 & 1
\end{pmatrix}.
\]

驗算：

\[
[T]_{\varepsilon}P
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 3 & 1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 2\\
0 & -1 & 0\\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}.
\]

再左乘 \(Q\)：

\[
Q[T]_{\varepsilon}P
=
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 5 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 2\\
0 & -1 & 0\\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
=
[T]_{\beta}.
\]

1. 小題(3)： $[T]_\beta$ 的矩陣如何得到，請按照規矩寫清楚（$\beta$ 是由 eigenvectors 所組成，這句話的概念在課堂上尚未形成）。開頭幫忙說明一下利用 Exercise 7.4 (1) 推廣的結果知道 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ 為 independent 也不錯。
2. 小題(4)：$P$ 這個矩陣如何得到？建議不同基底之間表現矩陣的轉換，用課堂上使用的符號表示以確保正確性。（才不會如 Exercise 7.1 有錯誤而不知） 

$[T]_{\beta} = Q[T]_{\mathcal E}P$
$[T]_{\beta}
=
([I]_{\beta}^{\mathcal E})^{-1}
[T]_{\mathcal E}
([I]_{\beta}^{\mathcal E})$

故$P = [I]_{\beta}^{\mathcal E}$
=
\begin{bmatrix}
-1 & 3 & 1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}

使用增廣矩陣
\[
[P \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid P^{-1}]
\]

得$Q = P^{-1}$
=
\begin{bmatrix}
-\frac12 & -\frac12 & \frac12\\
0 & -1 & 0\\
\frac12 & \frac52 & \frac12
\end{bmatrix}
驗證$Q[T]_{\mathcal E}P$=\begin{bmatrix}
-\frac12 & -\frac12 & \frac12\\
0 & -1 & 0\\
\frac12 & \frac52 & \frac12
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1 & 3 & 1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}=$[T]_{\beta}$成立

故$P=
\begin{bmatrix}
-1 & 3 & 1\\
0 & -1 & 0\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}$，$Q=
\begin{bmatrix}
-\frac12 & -\frac12 & \frac12\\
0 & -1 & 0\\
\frac12 & \frac52 & \frac12
\end{bmatrix}$

$[T]_{\mathcal E}$
=
\begin{bmatrix}
[T(1,0,0)]_{\mathcal E} &
[T(0,1,0)]_{\mathcal E} &
[T(0,0,1)]_{\mathcal E}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1
\end{bmatrix}

$[T]_{\beta}$
=
\begin{bmatrix}
[T(v_1)]_{\beta} &
[T(v_2)]_{\beta} &
[T(v_3)]_{\beta}
\end{bmatrix}

$\text{由 (1) 知 } 
T(v_1)=0v_1,\quad
T(v_2)=1v_2,\quad
T(v_3)=2v_3,
\quad
\beta=(v_1,v_2,v_3)$

$\therefore\;
[T]_{\beta}$
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}