(a) 由 (i),(ii) 令 $\mathbf{w}=\mathbf{0}$ 便得 $\left\|T(\mathbf{v})\right\|=\left\|T(\mathbf{v})-T(\mathbf{0})\right\|=\left\|\mathbf{v}-\mathbf{0}\right\|=\left\|\mathbf{v}\right\|$

(b) $\forall\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{R}^{n}$
由餘弦定理，$\left\|T(\mathbf{v})-T(\mathbf{w})\right\|^{2}$ $=\left\|T(\mathbf{v})\right\|^{2}+\left\|T(\mathbf{w})\right\|^{2}-$ $2\left<T(\mathbf{v}),T(\mathbf{w})\right>$，$\left\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\right\|^{2}$ $=\left\|\mathbf{v}\right\|^{2}+\left\|\mathbf{w}\right\|^{2}-$ $2\left<\mathbf{v},\mathbf{w}\right>$

由 (ii),(a) 得 $\left<T(\mathbf{v}),T(\mathbf{w})\right>=\frac{-1}{2}(\left\|T(\mathbf{v})-T(\mathbf{w})\right\|^{2}-\left\|T(\mathbf{v})\right\|^{2}-\left\|T(\mathbf{w})\right\|^{2})=\frac{-1}{2}(\left\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\right\|^{2}-\left\|\mathbf{v}\right\|^{2}-\left\|\mathbf{w}\right\|^{2})=\left<\mathbf{v},\mathbf{w}\right>$

故得證。

令 $\mathbf{c}=(c_{1},...,c_{n})$
則 $\mathbf{c}=c_{1}\mathbf{e_{1}}+...+c_{n}\mathbf{e_{n}}且c_{i}=\frac{\left<\mathbf{c},\mathbf{e_{i}}\right>}{\left\|\mathbf{e_{i}}\right\|^{2}}$ 且由 (1)知  $\left<\mathbf{c},\mathbf{e_{i}}\right>=\left<T(\mathbf{c}),T(\mathbf{e_{i}})\right>且\left\|\mathbf{e_{i}}\right\|=\left\|\mathbf{u_{i}}\right\|\forall i\in {1,...,n}$
注意到由(1)，$\left<\mathbf{u_{i}},\mathbf{u_{j}}\right>=\left<T(\mathbf{e_{i}}),T(\mathbf{e_{j}})\right>=\left<\mathbf{e_{i}},\mathbf{e_{j}}\right>=0 ,\forall i,j\in {1,...,n} 且 i\neq j$
故 $\mathbf{u_{1},...,u_{n}}$ 為 $\mathbb{R}^{n}$ 的一組 orthogonal basis，因此我們有 $T(\mathbf{c})=\frac{\left<T(\mathbf{c}),\mathbf{u_{1}}\right>}{\left\|\mathbf{u_{1}}\right\|^{2}}\mathbf{u_{1}}+...+\frac{\left<T(\mathbf{c}),\mathbf{u_{n}}\right>}{\left\|\mathbf{u_{n}}\right\|^{2}}\mathbf{u_{n}}=\frac{\left<\mathbf{c},\mathbf{e_{1}}\right>}{\left\|\mathbf{e_{1}}\right\|^{2}}\mathbf{u_{1}}+...+\frac{\left<\mathbf{c},\mathbf{e_{n}}\right>}{\left\|\mathbf{e_{n}}\right\|^{2}}\mathbf{u_{n}}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\mathbf{u_{i}}$
故得證。
 

$1^\circ$ 已知： $\|T(v)\| = \|v\|$， $\|T(v) - T(w)\| = \|v - w\|$。$T(e_i) = u_i$, $\{e_1, e_2, \dots, e_i, \dots, e_n\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的 standard basis。

---

$2^\circ$ 由 (1) 知 $\langle u_i, u_j \rangle = \langle T(e_i), T(e_j) \rangle = \langle e_i, e_j \rangle$，因此 $\{u_1, u_2, \dots, u_i, \dots, u_n\}$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 的一組 orthonormal basis。

---

$3^\circ$ 若 $T(c_1, \dots, c_n) = \sum_{i=1}^{n} c_i u_i$，那麼應該滿足：$\left\| T(c_1, \dots, c_n) - \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \right\| = 0$

將上式平方並展開：
$\| T(c_1, \dots, c_n) \|^2 - 2 \left\langle T(c_1, \dots, c_n), \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \right\rangle + \left\| \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \right\|^2$
（令 $c = (c_1, \dots, c_n)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的任意向量）

其中：
 ① 因 $\|T(c)\| = \|c\|$，故：
   $\| T(c_1, \dots, c_n) \|^2 = \| (c_1, c_2, \dots, c_n) \|^2 = \sum_{i=1}^{n} c_i^2$
 ② 對於 $\langle T(c), \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \rangle$，知道 $c_i$ 是常數，利用性質 $\langle u, rv \rangle = r \langle u, v \rangle$：
   $\langle T(c), \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \langle T(c), u_i \rangle$
   又 $u_i = T(e_i)$，故：
   $\sum_{i=1}^{n} c_i \langle T(c), T(e_i) \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \langle c, e_i \rangle$
   依定義 $c = \sum_{i=1}^{n} c_i e_i$，$ \langle c, e_i \rangle = c_i$，因此：
   $\langle T(c), \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i (c_i) = \sum_{i=1}^{n} c_i^2$
 ③ 因已知 $\{u_1, \dots, u_n\}$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 上的 orthonormal basis：
   $\left\| \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \right\| = \left( \sum_{i=1}^{n} c_i^2 \right)$

綜上，原式可寫成：
$\| T(c_1, \dots, c_n) - \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \|^2 = \sum_{i=1}^{n} c_i^2 - 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} c_i^2 + \sum_{i=1}^{n} c_i^2 = 0$

得證 $T(c_1, \dots, c_n) = \sum_{i=1}^{n} c_i u_i \ \#$

由 (2) 已知，若 $c=(c_1,\dots,c_n)$，則

\[
T(c)=\sum_{i=1}^n c_i u_i.
\]

現取任意

\[
x=(x_1,\dots,x_n),\qquad y=(y_1,\dots,y_n),
\]

以及純量 $\alpha,\beta$。則

\[
\alpha x+\beta y
=
(\alpha x_1+\beta y_1,\dots,\alpha x_n+\beta y_n).
\]

由 (2) 得

\[
T(\alpha x+\beta y)
=
\sum_{i=1}^n (\alpha x_i+\beta y_i)u_i
=
\alpha\sum_{i=1}^n x_i u_i+\beta\sum_{i=1}^n y_i u_i.
\]

再由 (2)，

\[
\sum_{i=1}^n x_i u_i=T(x),\qquad \sum_{i=1}^n y_i u_i=T(y).
\]

因此

\[
T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y).
\]

故 $T$ 滿足線性映射定義，所以 $T$ 是 linear transformation。

\[
\boxed{T\text{ is linear.}}
\]

第(2)題都沒有到表達很清楚喔，可以試著多解釋你的式子怎麼來的

然後注意一下數學邏輯!!!!