(1) 任取  
\[
A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix},\quad 
B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{bmatrix} \in M_2,\quad a_i, b_i \in \mathbb{R},\ r \in \mathbb{R}
\]  
則  
\[
\begin{aligned}
T(A + rB) 
&= T\left( \begin{bmatrix} a_1+rb_1 & a_2+rb_2 \\ a_3+rb_3 & a_4+rb_4 \end{bmatrix} \right) \\[4pt]
&= \begin{bmatrix} a_1+rb_1 & a_2+rb_2 \\ a_3+rb_3 & a_4+rb_4 \end{bmatrix}^{\!t} \\[4pt]
&= \begin{bmatrix} a_1+rb_1 & a_3+rb_3 \\ a_2+rb_2 & a_4+rb_4 \end{bmatrix} \\[4pt]
&= \begin{bmatrix} a_1 & a_3 \\ a_2 & a_4 \end{bmatrix} + r \begin{bmatrix} b_1 & b_3 \\ b_2 & b_4 \end{bmatrix} \\[4pt]
&= A^t + r B^t \\[4pt]
&= T(A) + r T(B)
\end{aligned}
\]  
因此， \(T\) 是linear transformation.

(2) 任取  
\[
A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} \in M_2,\quad a_1,a_2,a_3,a_4 \in \mathbb{R}
\]  
將 \(A\) 展開：
\[
A = a_1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 
+ a_2 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 
+ a_3 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} 
+ a_4 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]  
由於 \(T\) 為linear transformation，有  
\[
\begin{aligned}
T(A) 
&= a_1 T\!\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right)
+ a_2 T\!\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right)
+ a_3 T\!\left( \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right)
+ a_4 T\!\left( \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \\[4pt]
&= a_1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
+ a_2 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
+ a_3 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
+ a_4 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\[4pt]
&= \begin{bmatrix} a_1 & a_3 \\ a_2 & a_4 \end{bmatrix} \\[4pt]
&= A^t
\end{aligned}
\]