林宥呈
11 March 2026
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（2）參考解答
已知$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).$
Let $C_{ij}$ be the $(i,j)$-th entry of the cofactor matrix of $A’$,
let $M_{ij}$ 為刪去 $i$-th row and $j$-th column of $A$的det
已知$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$
By (1), we know $M_{ij}\in\mathbb{Z}$.
所以$C_{ij}\in\mathbb{Z}$
故$\operatorname{adj}(A)$ 的entry皆為整數.
$\Rightarrow$
若$A^{-1}$ 的entry皆為整數
則$\det(A^{-1})\in\mathbb{Z}.$ (by(1))
又因$\det(AA^{-1})=1=\det(A)\det(A^{-1}),$
故$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\in\mathbb{Z}.$
因此$\det(A)=1 \quad \text{or} \quad -1.$
$\Leftarrow$
已知
$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).$
If $\det(A)=1$, then $A^{-1}=\operatorname{adj}(A).$
If $\det(A)=-1$, then $A^{-1}=-\operatorname{adj}(A).$
因$\operatorname{adj}(A)$ 的每個 entry 皆為整數,故$A^{-1}$的每個 entry 也皆為整數.
（1）參考解答
(1) 令 $P(n)$: 若 $A$ 的每一個 entry 皆為整係數的 $n$ 階方陣，則 $\det(A)$ 為整數。
① 當 $n=1$ 時，若 $A = [a_{11}] \in M_{1 \times 1}$，其中 $a_{11} \in \mathbb{Z}$，
則 $\det(A) = a_{11} \in \mathbb{Z}$。
$\therefore P(1)$ 成立。
② 假設 $P(k-1)$ 成立，($k \ge 2$)
即若 $A = [a_{ij}] \in M_{(k-1) \times (k-1)}$ 且 $\forall i, j \in \{1, 2, \dots, k-1\}, a_{ij} \in \mathbb{Z}$。
則 $\det(A) \in \mathbb{Z}$。
那麼，當 $n=k$ 時，
若 $A = [a_{ij}] \in M_{k \times k}$ 且 $\forall i, j \in \{1, 2, \dots, k-1, k\}, a_{ij} \in \mathbb{Z}$，
Consider $A$ 對 $k$-th row 展開，
則 $\det(A) = a_{k1} a'_{k1} + a_{k2} a'_{k2} + \dots + a_{kk} a'_{kk}$
其中 $A_{kj}$ 為刪掉$A$ 之 $k$-th row 與 $j$-th column 所得的 $k-1$ 階矩陣。
故由假設，知 $\det(A_{kj}) \in \mathbb{Z}$ 且 $a_{kj} \in \mathbb{Z}$。
故 $\det(A) = \sum_{j=1}^{k} a_{kj} (-1)^{k+j} \det(A_{kj}) \in \mathbb{Z}$。
$\therefore$ By 數學歸納法，$P(n)$ 對於 $n \in \mathbb{N}$ 皆成立。