(1)
Let $C_{ij}$ be the $(i,j)$-th entry of the cofactor matrix of $A’$, and let 
$M_{ij}$ 為刪去 $i$-th row and $j$-th column of $A$的det

又已知\[
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
\]

Thus the cofactor matrix is
\[
C=
\begin{bmatrix}
6 & -4 & 5\\
0 & 1 & -2\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix}.
\]

Hence
\[
\operatorname{adj}(A)=C^T=
\begin{bmatrix}
6 & 0 & -3\\
-4 & 1 & 2\\
5 & -2 & -1
\end{bmatrix}.
\]

\[
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)
=\frac{1}{3}
\begin{bmatrix}
6 & 0 & -3\\
-4 & 1 & 2\\
5 & -2 & -1
\end{bmatrix}.
\]

(2)

\[
\det(B)=15+8+0-3-20-0=0.
\]

故存在一個 $\mathbf{x}$ 使得
\[
B\mathbf{x}=0
\]

得解為
\[
\mathbf{x}=
\begin{bmatrix}
3\\
-2\\
1
\end{bmatrix}.
\]

同樣的 存在$\mathbf{y}$使得
\[
\mathbf{y}^T B=0
\]

所以我們得到
\[
\mathbf{y}^T=
[-5\ 2\ 1].
\]

Let
\[
C=\mathbf{x}\mathbf{y}^T.
\]

會使得下式成立
\[
CB=BC=0.
\]

Then
\[
C=
\begin{bmatrix}
3\\
-2\\
1
\end{bmatrix}
[-5\ 2\ 1]
=
\begin{bmatrix}
-15 & 6 & 3\\
10 & -4 & -2\\
-5 & 2 & 1
\end{bmatrix}.
\]

(2) 可用 $\mathrm{Thm. 5.5.12}$ 得 $B(\mathrm{adj} (B))=(\mathrm{adj} (B))B=\det (B)I_{3}$。又 $\det (B)=0$，故我們可以得到 $C=k\mathrm{adj} (B)$，其中 $k$ 為非零實數。

包子入侵 的寫法中，雖過程正確，但很多小地方不夠清楚，會造成閱讀者在閱讀上的困擾，希望同學能幫忙修正

我先舉例一個：(2) 的回答中，我只要取 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$，也能達到 $B\mathbf{x}=\mathbf{0}$，所以應該強調是存在 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$，但滿足 $B\mathbf{x}=\mathbf{0}$

關於不是 full rank 的矩陣，可在左、右邊乘上非零矩陣得到零矩陣的問題，在上學期已討論過。為什麼在這個單元還會問這個問題呢？(1)(2)兩題有何關聯呢？當然是希望大家聯想到 $\mathrm{adj(A)}$ 的性質。至於 $\mathrm{adj(A)}$ 會不會是零矩陣？這是個有趣的問題。可參考 Exercise 5.11 的討論。