包子入侵　請將過程寫完整，$A$是誰？$A_1,A_2,A_3$又是誰？為何你會寫出矩陣等於實數？你這樣寫完全看不出與此題的關聯在哪

備注：你此題並不會記錄"作業發表"一次，若有其他同學補上他的完整寫法，"作業發表"將會記在該同學身上。當然，你也可以自己重新上傳一次來爭取這次的紀錄。

(註：我認為應該要加上 \(A\) 為 invertible 才可以)

以下為我的作答：

令 \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 3 & 0\\1 & 4 & 2\end{bmatrix},\ \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}\)

則我們可以將原方程組改寫為 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)，即 \(\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 3 & 0\\1 & 4 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}\)

由 Theorem 5.2.6.，因為 \(\det(A)=3\neq 0\)，所以\(A\) 為 invertible

又由 Cramer’s Rule，令 \(B_k\) 表示將 \(A\) 的 k-th\column 用 \(\mathbf{b}\) 取代的 \(n \times n\ matrix\) (其中 \(k\in{1,2,3}\))

則 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 有唯一解 \(x=\frac{\det(B_1)}{\det(A)},\ y=\frac{\det(B_2)}{\det(A)},\ z=\frac{\det(B_3)}{\det(A)}\)

因為 \(\det(B_1)=9,\ \det(B_2)=-4,\ \det(B_3)=2\)，所以 \(x=\frac{9}{3}=3,\ y=-\frac{4}{3},\ z=\frac{2}{3}\) 即為原方程組的解